Matematika
7 éves gimnáziumi képzés
|
|
Tantárgyi programok | ||
|
A matematika tanulása jelentse egyaránt matematikai és szociális képességek, készségek fejlesztését valamint ismeretek szerzését. A tanulókat arra akarjuk felkészíteni, hogy eligazodjanak a világ dolgaiban, hogy megismerjék a valóság leggyakoribb mennyiségi és térbeli viszonyait, formáit, a matematika módszereit, eljárásait, sajátos gondolatrendszerét, hogy megszerezzék az ismereteknek a gyakorlatban és más tudományokban való önálló alkalmazásának képességét. A matematika tanulás lényege a matematikai tevékenység, a tapasztalatokra alapozott absztrakciós fogalomalkotás; a pontosan körvonalazott feltételekből szigorú logikai következtetésekkel kiolvasott eredmények; ezek előzetes becslése, ellenőrzése és a gyakorlatban való alkalmazása. A tananyag feldolgozása során alkalmazott módszerek segítségével lehetőséget biztosítunk többféle csoportos munkaforma kipróbálására Ezáltal fejlesztjük az együttműködési szándékot és képességet. Tapasztalatot szerezhetnek a munkamegosztásról, a team-szerepekben való részvételről, és saját működési módjukról.
Pszichológiai és didaktikai kutatások eredményei arra utalnak, hogy a tanulók szemléletének, gondolkodásmódjának fejlődése nem spontán folyamat, és nem kötődik szorosan a biológiai fejlődéshez. A gondolkodásmód fejlődése elsősorban a céltudatos tanítás hatására valósul meg, és ezért nagy mértékben függ a tananyagtól és az alkalmazott módszerektől.
A tananyagot úgy választottuk ki, hogy szem előtt tartottuk: az értelmiségi pályák jó részén a matematikát kedvelő, becsülő, értő, ismerő és alkalmazni tudó valamint team-munkában részt venni képes emberekre van szükség. El kell mélyíteni mindazokat az ismereteket, eljárásokat, módszereket, amelyekkel a gyerekek tanulmányaik első hat évében foglalkoztak; illetve fejleszteni kell azokat a készségeket és képességeket, amelyek lehetővé teszik az életkori sajátosságoknak megfelelő új tudásanyag elsajátítását. Arra törekszünk, hogy érettségizett diákjaink elég ismerettel, készséggel és képességgel rendelkezzenek a felnőtt életben való eligazodáshoz. Fontos szempont volt az is, hogy a matematikával tovább foglalkozni szándékozók megszerezzék az ehhez szükséges képességeket, készségeket és ismereteket.
Az általunk alkalmazott matematikatanításnak három alapvető sajátossága van:
Nézetünk szerint a kooperatív tanulásszervezés alkalmazásával, a felfedeztető módszer segítségével, epochális keretek között a matematikaoktatásban lehetőség van arra, hogy a tananyag feldolgozása során
Koncepciónk személyközpontú, figyelembe veszi az egyéni sajátosságokat, az eltérő ütemű fejlődést, és az eltérő szükségleteket a fejlesztés során.
A felfedeztető módszer
Lényege, hogy a gyerekek egy természetes megismerési folyamatot saját megfigyeléseik, tapasztalatik alapján járnak végig. Mindezt úgy lehet elérni, hogy minden új definíció, tétel, stb. a már megszerzett ismeretekből, tapasztalatokból nő ki. Az új anyagrész tárgyalása előtt a gyerekek jól összeállított feladatsor segítségével, irányított kérdésekkel összegyűjtik és elemzik azokat a tapasztalataikat, ismereteiket, amelyek, szükségesek az új anyag önálló felfedezéséhez. Ezután a tanulók olyan feladatokat oldanak meg, illetve olyan problémákkal találkoznak, melyek megoldásában az új fogalom, eljárás stb. elemeire bontva van jelen. A megoldások során alkalmazott eljárások, fogások, eredmények alapján a lényeg kiszűrésével a gyerekek maguk fogalmazzák meg az új módszereket, eljárásokat, definíciókat, tételeket. Így – és ezt rendkívül fontosnak tartjuk – a tanulók nem definíciókat és bizonyításokat sajátítanak el, hanem definiálni és bizonyítani tanulnak meg.
A sikerrel és kellő erőfeszítéssel megoldott feladat rendkívül nagy motivációs erőt jelent a további munkában. Az a tény, hogy a gyerek saját ötletével, saját úton jutott el a feladat megoldásához, ösztönözni fogja arra, hogy legyenek saját ötletei, gondolatai, hogy merjen vitázni, hogy keressen újabb lehetőségeket a megoldásra.
E módszer segítségével a tanulók kisebb-nagyobb sikereket érnek el az órán, ennek köszönhetően felszabadultabbá, bátrabbá válnak. A módszer olyan légkört teremt, amelyben magától értetődővé válik a további munka szükségessége. Tudomásul kell azonban venni, hogy nem mindenki képes a felfedezésre, és nem lehet mindent felfedezni.
A kooperatív tanulás
Ennek során a gyerekek négy fős heterogén csoportokba szervezve dolgoznak az órán. A Spencer Kagan által kidolgozott módszerek alkalmazása biztosítja, hogy a csoportban az egyes tagok egyenlő arányban részesedjenek a munkából. A feladatok megoldása során a társas készségek egyes elemeinek (pl: a megköszönni tudás és a köszönet elfogadása, egy gondolat megfogalmazása és a másik megfogalmazásnak meghallgatása, bíztatás és a bíztatás elfogadása …) mindkét oldala megjelenik és fejlődik.
Amikor a gyerekek csoportos foglalkozás keretében akár feladatot oldanak meg, akár valamelyik tételt bizonyítják be, vagy valami új fogalmat alakítanak ki, rendszerint ötleteiket, megoldási módjukat, eredményeiket megbeszélik egymással, illetve megvitatják. Az a tény, hogy gondolataikat világosan, a többiek számára érthetően kell megfogalmazniuk, nagy segítséget jelent az új fogalmak tisztázásában, a matematikai megfogalmazások elsajátításában. A viták segítik az új fogalmak létrejöttét, ugyanis a tanulók több szempontú, több oldalú tapasztalatokból, következtetésekből alakítják ki ezeket. A viták lehetőséget teremtenek arra is, hogy a gyerekek megtanulják gondolataikat világosan megfogalmazni, logikus érvekkel alátámasztva elmagyarázni, illetve mások gondolatmenetéhez kapcsolódni. Így tehát a csoportos munka elősegíti a jó vitaszellem, vitastílus, a vitakészség kialakulását.
Ugyanakkor a csoportmunka értékelése, az építő egymásrautaltság biztosítása azt eredményezi, hogy a különböző véleményeket meghallgatva törekedjenek egymás megértésére, egy közös álláspont kialakítására, fejlesztve ezzel kompromisszumkészségüket.
Epochális rendszer
A rendszer harmadik pillére az epochális formában történő tanulás-tanítás. Az AKG-ban a kezdetektől fogva ebben a rendszerben zajlik a diákok képességeinek fejlesztése. A tanórák hosszabbak, így a diákoknak lehetősége van arra, hogy a tananyagban jobban elmélyedjenek, hogy az ismereteiket változatos módon, több szempontból való megközelítéssel és ki-ki a maga tempójában szerezze meg. Így könnyebben lehet differenciáltan és kooperatív csoportokban tanítani.
A gyerekek képessé válnak az aktív, önálló munkára. A tanárnak lehetősége van arra, hogy ne csak a tantárgyi, hanem gondolkodásbeli, szociális és kommunikációs képességeket is fejlessze. A diákok közösen végzett munkája, egymás segítése lehetőséget ad arra, hogy sokoldalúbban megismerjék egymást, ezáltal erősödik az osztály közösségének kapcsolati hálója, és az egymás iránti empátia és tolerancia.
Képzési struktúránk
A 7-10. évfolyamokban epochális rendszerben, évi öt epochában, differenciált és kooperatív módszerek alkalmazásával matematikai és szociális képességeket, készségeket fejlesztünk.
A 11. évfolyam során (nyelvi, kommunikációs év) bekapcsolódunk a projektekbe.
A 12-13. évfolyamokon a korábban tanultak elmélyítése, fejlesztése, és az ezekre épülő új fejezetek differenciált elsajátítása folyik. Ebben a szakaszban a diákok a továbbtanulási szándékuknak megfelelően választhatnak a közép- (heti 3-4 óra) és az emeltszintű (heti 5-6 óra) csoport közül.
Értékelési rendszerünk:
I. Az értékelés szempontjai
1. Az eljárások, módszerek, összefüggések ismerete és alkalmazása
2. Az órai munka:
fegyelmezettség
figyelem
szándék az önálló feladatmegoldásra, az ismeretek befogadására és azok alkalmazására
aktivitás
3. A csoportos munka: közös munka segítése, a csoport munkájában való aktív részvétel, egymás segítése, az együttműködési készség, képesség fejlesztése, az aktivitás
4. Az önálló munka
II. Az ellenőrzés lehetséges módjai:
Órai kisdolgozatok, amelyek az alapvető, rutinszerű ismeretek tudását ellenőrzik
A csoport közös munkájának értékelése valamilyen közösen elkészített produktum alapján
házi feladatok ellenőrzése
epochazárók, témazárók (mindkettő egy-egy nagyobb témakör befejezéseként írt dolgozat), az epocha ill. a téma tanulásakor fejlesztett képességek állapotáról ad képet, ellenőrzi a tanultakat és alkalmazásukat
III. Az értékelés formái
A csoportos, kooperatív és egyéni munkaformák alkalmazásával folyamatosan nyomon követjük a diákok munkáját.
Epocha közben kisebb pontszerző dolgozatokkal ellenőrizzük, hogy az elsajátítandó kompetenciákban, tananyagban hol tartanak. Ennek formája lehet egyéni vagy csoportos.
A házi feladatokat és a füzetet rendszeresen ellenőrizzük. Figyelemmel kísérjük együttműködésüket a csoportmunka során.
A szakaszok végén a témakörből epochazáró dolgozatot írnak.
Mindezek beszámításával százalékosan értékeljük a teljesítményt.
Szöveges értékelés:
A diákok félévenként szöveges értékelést kapnak. Ebben tantárgyi teljesítményükről, közösségben való működésükről, a tantárgyhoz és a tanuláshoz való viszonyukról, képességeik fejlődéséről adunk tájékoztatást a szülőnek és a diáknak egyaránt.
Matematika 7. osztály
A hetedik osztályba kerülő diákoknak több problémával kell megküzdeniük. Egyrészt belépnek a kamaszkorba, amely igen sok külsődleges és belső változással jár együtt; másrészt egy új iskolában, ismeretlen társakkal, az eddig megszokottól eltérő tanulási-tanítási módszerekkel kell dolgoznia, és mál elvárásoknak kell megfelelnie.
A tanítás-tanulás folyamatában nem csak a matematikai képességeket kell fejleszteni, hanem a hatékony csoportmunka érdekében a szociális képességeket is, és ki kell alakítani egy ehhez kapcsolódó pozitív attitűdöt. A matematikával való foglalkozásnak is segítenie kell, hogy jó önismerettel rendelkező önálló, jó kognitív képességekkel rendelkező, team-munkára alkalmas egyéniséggé váljanak diákjaink.
Hetedik osztálytól kezdődően figyelmet fordítunk a kooperatív módszerek alkalmazásával az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztésére. Kiemelten:
A felfedeztető módszerű tanulással is többnyire itt találkoznak először a diákok. Az feladatmegoldáshoz, a korosztálynak megfelelő matematikai gondolatok, összefüggések, eljárások felfedezéséhez szükséges több éven át fejleszteni az alábbi képességeket:
A kamaszkor egyik jellemzője, a tekintély elvetése, a kételkedés hangsúlyos megjelenése. Jó, ha ezt ki tudjuk használni a bizonyítási igény felkeltésére, a jó kritikai érzék fejlesztésére, és az ellenőrzés igényének kialakítására. Figyelmet fordítunk arra, hogy a diákok fontosnak tartsák, hogy munkájuk precíz, pontos, áttekinthető, szép kivitelű legyen. Mivel a kortársak szerepe egyre fontosabbá válik ebben az életkorban, emiatt nagy szerepet kaphat az egymástól való tanulás. Szintén kiemelt fontosságú az ismeretek elmélyítése, a motiváció és a fogalmak jelentésének megtapasztalása szempontjából a játékos munkaformák alkalmazása is.
Követelmény
A tanulók
Tartalom:
Halmazok, számok, műveletek
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A fejezet átfogó képet ad a halmazokról. Nem általában foglalkozunk a halmazokkal, hanem a hozzájuk kapcsolódó ismeretek, mint egy vezérfonal mentén kalandozunk a matematika különféle területein. A számhalmazokkal való ismerkedés kapcsán, természetes módon adódik alkalom a racionális számok körében végezhető műveletek áttekintésére, pontosítására, más szemszögből való megvilágítására. A ponthalmazok tárgyalása elvezet a nevezetes mértani helyek megismeréséhez, ezek szerkesztési feladatokban való alkalmazásához. A halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása előkészíti a grafikonok és függvények tárgyalását.
A gyakorlatból vett szövegek alapján kialakítjuk a halmaz matematikai fogalmát. Foglalkozunk a jelölésekkel és a halmazok Venn - diagramon való ábrázolásával. Az elemek különböző típusú és szintű megadásával tudatosítjuk a tanulókban, hogy halmazt csak pontosan definiált tulajdonsággal vagy jól körülhatárolható fogalmakkal adhatunk meg. Különféle halmaz - megadások esetén vizsgáljuk, hogy adott dolgok elemei - e az adott halmaznak.
Az elemek rendezésével és számosságával kapcsolatos feladatokon keresztül a matematika különböző témaköreivel ismerkedhetünk (logikai, geometriai, kombinatorikai, számelméleti, algebrai, szöveges feladatok).
Intuitív módon értelmezzük két halmaz egyenlőségét, a részhalmaz fogalmát. Tudatosítjuk az alaphalmaz és az üres halmaz fogalmát.
Alkalmasan választott bevezető feladatokkal értelmezzük a metszet, a különbség és az unió fogalmát. A halmazműveletek értelmezését segíti a Venn - diagrammal való szemléltetés.
A tanulók pontosítsák illetve egészítsék ki a négy alapművelettel kapcsolatos ismereteiket
Gyakorolják a zárójel és az abszolút érték jel használatát
Sokféle és változatos feladat segítségével átismételjük az eddig tanultakat. Foglalkozunk a számok ellentettjével, abszolút értékével, a négy alapművelettel a racionális számok körében. Újból áttekintjük - először egész, majd törtszámok esetén - az előjeles számok összeadását, kivonását, szorzását, osztását. Feladatok segítségével megvilágítjuk az előjel és a műveleti jel jelentését, használatát. Külön foglalkozunk a 0 - val végezhető négy alapművelet értelmével. Feladatok kapcsán a tanulók tapasztalatot gyűjtenek a zárójel jelentéséről és megfelelő használatáról, a műveleti sorrendről.
A fejezetben a számolásos feladatokon kívül több életszerű szöveges feladattal is találkoznak, melyekben a százalékszámítással kapcsolatos ismereteiket gyakorolhatják.
Az "igaz-e" típusú állítások helyességének eldöntésénél egyszerű és összetett logikai ítéleteket (ha... akkor; minden; néhány; szükséges; és; vagy) használnak.
Követelmény
A tanulók
Oszthatóság, arányosság, hatványozás, halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Egyszerű példák alapján vezessük be az osztó fogalmát. Az osztókeresési feladatokban már szerepel az osztópár fogalma. Beszéljünk a prímszám, prímosztó, valódi osztó, összetett szám fogalmáról. További tapasztalatokat gyűjthetünk, ha megkeressük az első 25 prímszámot. A prímek keresésénél mutassuk meg az Eratosztenész-féle rosta módszerét! Keressünk 0, 1, 2, 3, 4... osztóval bíró számokat adott számkörben! Ismerkedjünk meg a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 - zel való oszthatóság szabályával, ezek kapcsolatát Venn - diagramon is szemléltessük, kapcsolódva a halmazműveleteknél szerzett ismeretekhez. A többszörös fogalmának bevezetésére is alkalmas a Venn - diagramos szemléltetés, de a számsorban való felsorolás is. Az osztó és többszörös fogalmának párhuzamos tárgyalása segíti az egymást mélyítő megértést.
Sok egyszerű feladat megoldásával mutassuk meg a törzstényezős felbontás szükségességét, finomítsuk technikáját. A törzstényezős alakot érdemes kapcsolatba hozni a már megismert oszthatósági szabályokkal. Ugyanekkor fordított gondolat “prím - kártyákból” összetett számok előállítása. Egyszerű bevezető feladatokat mutassunk a prímtényezős alak és az osztók számának összehasonlítására, szemléltessük az osztók számát fa - diagramon is (itt még nem cél az osztók számára vonatkozó képlet megállapítása).
Az eddig tanultakhoz képest magasabb szinten fordul elő az arányosság, az egyenes és a fordított arány fogalma. Szöveges feladatokban gyakorolják, grafikonon is ábrázolják az összetartozó értékeket.
A számok törzstényezős felbontása előkészíti a hatványozás fogalmát. A fogalom pontos megértése lehetővé teszi, hogy a tanulók felfedezzék a hatványozás azonosságait. A jobb megértést és a megtanulást szolgálják a különböző szempont szerint összeállított feladatok megoldása.
Értelmezzük adott ponttól, egyenestől, félegyenestől, szakasztól, körvonaltól adott, illetve ennél kisebb / nagyobb távolságra levő pontok halmazát. Foglalkozzunk ezek térbeli megfelelőjével is. Adott tulajdonságú pontok halmazaként vezessük be a szögfelezőt és a szakaszfelező merőlegest.
A különböző adott tulajdonságú ponthalmazokkal olyan szerkesztési feladatokat is végezzünk, amelyekkel gyakoroltatni tudjuk a részhalmaz, az üres halmaz fogalmát, illetve a metszet, unió és különbség műveletét.
Meghatározzuk, mit értünk ponthalmazok, számhalmazok esetében a két halmaz összetartozó elemeinek fogalmán. Ábrázoljuk az összetartozó elemeket, amelyeket ponthalmazok esetén az “és”, illetve “vagy” műveletek, számhalmazok esetében pedig valamilyen egymáshozrendelés határoz meg. Előtérbe kerül a grafikonon való ábrázolás, sor kerül sorozatokkal, számelmélettel, fizikai problémákkal kapcsolatos feladatok megoldására, szabályok felismerésére és ezek grafikonon való ábrázolására. Statisztikai táblázatok grafikonon való ábrázolását, illetve ezek elemzését vezetjük be.
Követelmény
A tanulók
Algebra
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Egyszerűen megfogalmazott szöveges feladatokat fordítunk a matematika nyelvére. Ez motiválja a tanulókat az algebrai kifejezésekkel végezhető műveletek elsajátítására. Többek között a szöveges problémák megoldása is arra készteti a tanulókat, hogy minél több és hatékonyabb módszert sajátítsanak el az egyenletek, azonosságok, egyenlőtlenségek megoldására.
Egyszerű és változatos paramétereket tartalmazó szöveges feladatok kapcsán algebrai kifejezéseket írnak fel a tanulók. A paraméterek konkrét értékeivel ki is kell számítani az algebrai kifejezések értékét. Közülük néhányat grafikonon is ábrázolnak. Ezekkel a szöveges feladatokkal a problémák algebrai megfogalmazását gyakorolják.
Feladatok megoldásával szereznek tapasztalatot az új fogalmak (együttható, egynemű -, egytagú -, többtagú algebrai kifejezés) jelentéséről. A tapasztalatok kialakítják a fogalmak jelentését. A tanár dolga, hogy ezeket pontosítsa, megfogalmazásukat matematikailag precízzé tegye.
Számításos feladatok segítségével átismételjük a műveleti sorrend és a zárójel jelentését, alkalmazását. Csak ezután érdemes áttérni az algebrai kifejezések összeadására, kivonására (összevonására), szorzására.
Az összeadást, kivonást, összevonást előzze meg a számokkal végzett megfelelő műveletek jelentésének, használatának megbeszélése, természetesen feladatok kapcsán. Ezután párhuzamosan végeztessünk számokat, illetve betűket tartalmazó kifejezésekkel összeadást, kivonást, összevonást. A tanulók sejtsék meg, fedezzék fel a betűkkel végzett műveletek lényegét. Ezután pontosítsuk és rögzítsük is a műveletek technikáját. Hangsúlyozzuk azt is, hogy így egyszerűbb alakot kapunk.
Szorzásnál először egytagúakat szorozzunk össze, használva, hogy a szorzás az összeadás rövidebb formája. Folytassuk egytagú és többtagú kifejezések szorzásával. Érdemes a kapott eredményt (illetve a folyamatot) területszámítás segítségével szemléltetni. Ezután térjünk rá a többtagúak szorzására. Ezt is szemléltessük területszámítással. Sokféle szempontból megfogalmazott feladatokkal gyakoroljuk a műveleteket.
Tapasztalatokat szerzünk a nevezetes azonosságokban is.
Nagyon egyszerű (például számkitalálós) szöveges feladatok megoldásával elérjük, hogy a tanulók szerezzenek tapasztalatot az azonosság (minden számra igaz) fogalmában. Megsejtik a szövegek és a probléma alapján, mi a különbség az azonosság és az egyenlet között. Nem kell a fogalmak pontos meghatározására törekedni, elég, ha csak sejtik, érzékelik a különbséget.
Konkrét példákon mutatjuk meg, mit jelent az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásának folyamatában a lebontogatásos módszer és a mérlegelv.
Egyszerűbb szöveges feladatokkal is gyakoroltatjuk az egyenletek megoldását. A feladatok változatosak, az “élet” - ből vett problémákkal foglalkozunk.
Nagy figyelmet fordítunk a megoldások ellenőrzésére.
Követelmény
A tanulók
Geometria
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Fokozatosan nehezedő feladatsorokon keresztül adott tulajdonságú ponthalmazok meghatározása és szerkesztése. Keressük meg adott egyenestől illetve adott ponttól adott távolságra levő pontok halmazát a síkban és a térben is, illetve ezen mértani helyek alapján több tulajdonságnak eleget tevő pontok halmazát (metszetképzés ponthalmazok esetén). Jussunk el a szakaszfelező merőleges és a szögfelező, mint adott tulajdonságú pontok halmazához olyan módon, hogy a tanulók maguk sejtsék meg a két ponttól, illetve két egyenestől adott távolságra levő ponthalmaz mibenlétét konkrét példákban, és utána beszéljük meg az általános esetet. Ezeknek a mértani helyeknek a szerkesztését is megtanuljuk, majd alkalmazásképpen a háromszög köré írható, illetve a be- és hozzáírható körökkel foglalkozunk. Feladat formájában találkozzanak a tanulók a derékszögű háromszög köré írt körével, sejtés fogalmazódhat meg, hogy a kör középpontja az átfogó felezőpontja.
Érdemes olyan szöveges problémákkal foglalkozni, amelyek a fenti mértani hely-problémákra vezetnek (hova ássuk a kutat, hol építsük az utat stb.).
Az alapszerkesztések elsajátításához a tanulóknak meg kell érezniük, hogy mikor mondhatjuk el egy alakzatról, hogy megszerkesztettük. Ennek értelmében ismerniük kell adott egyenesre adott külső illetve belső pontból merőleges, adott külső pontból párhuzamos szerkesztésének eljárását (a korábbiak alapján ezekre a szerkesztési eljárásokra maguktól ráéreznek). A szögmásolás eljárását is mutassuk meg, és a fentieket egyszerűbb szerkesztési feladatokban gyakoroljuk. A szerkesztéseknél a tervkészítésre és a diszkusszióra is fordítsunk külön figyelmet, a szerkesztés végrehajtásánál pedig koncentráljunk a korrekt eszközhasználatra, tiszta és pontos munkára.
Ponthalmazokhoz különféle utasításokkal ponthalmazokat rendelünk, így alapozzuk meg a geometriai transzformáció intuitív fogalmát! A szerkesztések elvégzése fejleszti a koncentrációs készséget, a különböző vetítések egymástól eltérő tulajdonságai sok érdekességet és esztétikai örömöt rejtenek. Végezzünk vetítést pontból, illetve párhuzamos vetítést egyenesre ferdén, illetve merőlegesen. Foglalkozzunk a már ismert tengelyes tükrözéssel! Foglaljuk össze tulajdonságait, keressünk nevezetes tengelyesen szimmetrikus alakzatokat.
Vezessük be a pontra vonatkozó tükrözést – lehetséges egy „szemlátomást szimmetrikus” alakzattal kapcsolatban megkérdezni, hogyan kaphatnánk meg az egyik feléből a másikat. Szerkesszük meg néhány alakzat pontra vonatkozó tükörképét, majd gyűjtsük össze a középpontos tükrözés tulajdonságait. Alkalmazzuk az ismereteket egyszerűbb háromszög- és négyszögszerkesztésekben. Szerepeljen feladatként derékszögű háromszög középpontos tükrözése az átfogó felezőpontjára, vizsgáljuk a kapott alakzatot! Vizsgáljunk középpontosan szimmetrikus alakzatokat síkban és térben!
A területszámítást ezen a szinten konkrét átdarabolásokkal és kiegészítésekkel vezessük be, melyek alkalmas adatokkal jól kivitelezhetők négyzetrácsos papíron, és alkalmazzák az egybevágósági transzformációkról tanultakat. Vizsgálható a négyzet, a téglalap, paralelogramma területére hivatkozva a háromszög, deltoid és trapéz területe.
Követelmény
A tanulók
Kombinatorika, valószínűség, statisztika és gráfok
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
„Hányféleképpen lehetséges” – Végezzünk különböző összeszámolási feladatokat, lehetséges útvonalak, kockadobások, sorrendek összeszámolására. Hozzunk példákat a geometria területéről, pl.: sokszögek átlóinak száma. Pénzérmék és dobókockák sokszori feldobás során feljegyzett eredményei alapján készítsünk gyakorisági és relatív gyakorisági táblázatokat. Törekedjünk a kísérlet eredményeinek célszerű rögzítésére. Több csoportban különböző oldalszámú „dobókockákkal” kapott eredményeket hasonlítsunk össze. Tippeltessük meg, és kísérlettel vizsgáljuk meg, ha 3 vagy 4 érme feldobásakor a fejek ill. írások számának gyakoriságát, relatív gyakoriságát. Keressünk magyarázatot a kapott eredményre. Gyűjtsünk és rendszerezzünk statisztikai adatokat, a csoportra vonatkozó témakörökben, pl.: születési hónap, tanulással töltött idő stb. Készítsünk ezekből táblázatokat, illetve grafikonokat. Gyűjtsenek és értelmezzenek számukra érdekes témában grafikonokat.
Követelmény
A tanulók
Matematika 8. osztály
Folytatjuk a hetedik osztályban fontosként megjelölt kognitív és szociális képességek, attitűdök fejlesztését. A kitűzött elméleti tananyaggal és feladatokkal az a célunk, hogy bizonyos gondolkodásbeli elemeket megalapozzunk.
Ilyenek:
Fejlesztjük a következő gondolkodásmódbeli elemeket:
Megalapozunk gondolkodással összefüggő képességeket:
Továbbfejlesztjük a gyakorlati alkalmazáshoz szükséges képességeket, mint:
Cél, hogy felébresszük a bizonyítás iránti igényt, illetve a bizonyítatlan állításokban való kételkedést. A megtanuláshoz szükséges képességek fejlesztésére is figyelmet fordítunk, ilyenek:
Amit már tudunk/ Algebra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Folytatjuk a hetedik osztályban elkezdett algebrai tanulmányokat. Az algebrai egész és törtkifejezésekkel végzett műveleteket gyakoroljuk. Mindenféle lineáris, vagy átalakítással lineárissá tehető egyenlettel, egyenlőtlenséggel foglalkozunk. Változatos, a gyakorlathoz kapcsolódó szöveges feladatokat oldunk meg.
Átismételjük a négy alapműveletet racionális számokkal. Pontosítjuk a racionális szám fogalmát, és foglalkozunk különböző alakjaival. Tudatosítjuk, hogy ugyanazt a racionális számot többféle módon lehet leírni. Összefoglaljuk és rendszerezzük az összeadás és a szorzás műveleti tulajdonságait (kommutativitás, asszociativitás). A pozitív egész kitevőjű hatványokkal végzett műveletek során átismételjük a hatványozásra vonatkozó műveleti tulajdonságokat. Ezekkel az ismétlő feladatokkal egyben a halmazokkal kapcsolatos ismereteket, halmazműveleteket is átismételjük. Az algebrai kifejezések értékének kiszámítása is alkalmas a racionális számokkal végzett négy alapművelet ismétlésére.
Az algebrai kifejezések összevonásának, szorzásának ismétlése után továbblépünk az egytagúak osztására, ügyelve a 0 szerepére.
Több oldalról közelítjük a nevezetes azonosságokat. A megszerzett tapasztalatokat pontosítjuk, rendszerezzük. Gyakoroltatjuk algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozásával, egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során.
Egyenlőségeket vizsgálunk abból a szempontból, hogy a bennük szereplő paraméter minden értékére igaz, vagy vannak olyan értékek, amelyekre nem igaz, illetve sohasem igaz. Az egyenlőségek között főleg olyanok szerepelnek, amelyeknek egyik oldalán algebrai kifejezések szorzata, a másik oldalon pedig a kifejtett szorzat szerepel. Így a tanulók újból találkoznak az egyszerűbb nevezetes szorzatokkal, illetve tapasztalatot szereznek a kiemelésben. Algebrai kifejezések szorzattá alakítását motiválni lehet az algebrai törtek összevonására, bonyolultabb algebrai kifejezések egyszerűbbé tételére vonatkozó feladatokkal, illetve olyan egyenletek megoldásával, amelyek egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehetők. Ezen egyenletek megoldása jól látható értelmet ad az ellenőrzésnek.
Alkalmas, a tanulók érdeklődéséhez közel álló feladattal érdemes bevezetni a 0 és negatív egész kitevőjű hatványok jelentését. Egyszerű feladatokkal tapasztalatot lehet szerezni a műveleti azonosságokban. Alkalmasan választott, más tudományból vett olvasmányokkal motiválhatjuk a tanulókat a számok normálalakjának elsajátítására és használatára. Gazdasági jellegű feladatokkal a normálalakkal végzett műveletek jól gyakoroltathatók.
Változatos elsőfokú vagy egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehető egyenleteket oldunk meg. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor a tanulók gyakorolják az algebrai kifejezések összevonását, szorzását, szorzattá alakítását. Megoldunk a nevezőben számokat tartalmazó egyenleteket és egyenlőtlenségeket. Tapasztalatokat gyűjtünk olyan egyenletek megoldásában, amelyeknek a nevezőjében is szerepel az ismeretlen.
A szöveges feladatok megoldásához felhasználjuk az eddig tanult eljárásokat. Egyszerű keveréses, helyiértékes és munkavégzéses feladatokat oldunk meg.
A szorzattá alakítás segítségével egyszerű másodfokú egyenleteket is megoldunk.
Követelmény
A tanulók
Függvények és számelmélet
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Változatosan meghatározott halmazok elemeit rendeljük egymáshoz. Főleg számhalmazokkal foglalkozunk. Mellettük nagyon jól lehet az életből vett halmazokat egymáshoz rendelni (pl. fiúk - lányok), ezekkel ugyanis jól lehet szemléltetni az egymáshozrendelés fogalmát. Ahhoz, hogy a tanulók elegendő tapasztalatot gyűjtsenek az egymáshozrendelés, az egyértelmű -, ill. kölcsönösen egyértelmű egymáshozrendelés fogalmában, sok és többféle szempontból megfogalmazott feladatra van szükség. A függvény fogalmának kialakítása után foglalkozunk az értelmezési tartomány, értékkészlet jelentésének elmélyítésével, valamint a függvény megadásának módozataival. A képlettel megadott függvények adott helyen vett értékeinek kiszámítását egyrészt kapcsolni lehet az algebrai kifejezéseknél tanultakhoz, másrészt kialakítja a tanulókban a független - és függő változó fogalmát. A függvényfogalom kialakításával együtt nagy súlyt fektetünk a függvényekkel kapcsolatos jelölések bevezetésére és helyes használatára.
A függvény grafikonjának ábrázolását már több helyen előkészítettük (táblázatok, szöveges feladatok alapján készült grafikonok, halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása). A tanulók főleg a lineáris függvények ábrázolásában gyűjtsenek tapasztalatot, de célszerű más függvény grafikonjának a megrajzolása is. Foglalkozzunk az “összeköthetők - e a pontok” kérdésével, jussunk el a kételkedésig - nem baj, ha nyitva marad a probléma.
Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása átvezet a lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldásához. Az ilyen típusú feladatok megoldása azért is fontos, mert előkészíti a koordinátageometriai szemléletet.
Egyszerű szöveges feladatok, illetve a törtek egyszerűsítése kínál lehetőséget arra, hogy a közös osztó, közös többszörös fogalmát sok tapasztalattal vezessük be. Ezek után kiválasztjuk az l.n.k.o. - t, l.k.k.t. - t. Meghatározásukhoz használjuk a törzstényezős felbontást. A tanulók megérzik, illetve tudatosan megtalálják a helyes módszert, csak a tisztázásban kell segítenünk. Speciális eset az (a,b) = 1, azaz itt vezessük be a relatív prímek fogalmát, és figyeljük meg ebben az esetben [a,b] - t is! Keressük meg több szám l.n.k.o. ill. l.k.k.t. - jét is számpéldákban, illetve érdekes szöveges feladatokban. Keressünk adott (a,b) és a, illetve [a,b] és a esetén megfelelő b - t! Figyeljünk ezeknél a feladatoknál a logikailag helyes fogalmazásra!
Szöveges feladattal vezethetünk be egyszerű diofantoszi egyenleteket. Ezek megoldása során fontos rámutatni, hogy a megoldás nem egyértelmű.
A témakör végére olyan sok ismeret halmozódik fel, hogy célszerű vegyes feladatokkal átmozgatni az egész anyagot (betű - számtan, számsor - szabály kitalálós vegyes szöveges feladatok stb.)
tanulók korábbi ismeretei lehetővé teszik, hogy a témát eddigi ismereteikre alapozó érdekes problémákkal vezessük be, ezzel ismételve és mélyítve a már megszerzett ismereteket. Osztályozzuk új szempontból az összetett számokat: foglalkozzunk a négyzet - és köbszámok, negyedik hatványok speciális tulajdonságaival, prímtényezős felbontásukkal. Érdekességként foglalkozzunk az ikerprímekkel, tökéletes és barátságos számokkal, pitagoraszi számhármasokkal, történeti vonatkozásokkal.
Elevenítsük fel a prímtényezős felbontás alapján megoldható feladatokat, (a,b) és [a,b] fogalmát, ismerjük fel és értelmezzük az (a,b)×[a,b]=a×b összefüggést.
Az új ismereteket a maradékosztályok megalkotására vezető szöveges feladatokkal kezdjük, és ábrázoljuk a maradékosztályokat Venn - diagramon. Vizsgáljuk a számok összegére, különbségére, szorzatára vonatkozó oszthatósági szabályokat sok tapasztalatszerzéssel, és indokoljuk tapasztalatainkat a maradékosztályok segítségével - ez jól alkalmaz algebrai ismereteket is. Ehhez a témakörhöz tartozik a korábban tanult oszthatósági szabályok mélyebb megértése, amely ugyanakkor jól előkészíti a számrendszerekkel történő általánosabb foglalkozást. Foglalkozzunk számok át - és visszaírásával 2 - es, 5 - ös, 6 - os, 12 - es, 16 - os számrendszerbe, figyeljük meg az érdekességeket és ezek kapcsán világítsuk meg az egyes számrendszerek hasznosságát a számítástechnikában és a matematika történetében, tekintsük át a számírás érdekességeit, mutassuk meg a 0 és a helyiérték szerepét. Vizsgáljuk a 7 - tel való oszthatóság eddig hiányzó szabályát, kapcsolatát a 6 - os számrendszerrel.
“Párosországba” történő kitekintéssel vizsgáljuk a prímszám, összetett szám, oszthatóság, törzstényezős felbontás tulajdonságait, a számok tényezőkre bontását. Visszatérve a természetes számok körébe fogalmazzuk meg a számelmélet alaptételét, hangsúlyozva és megértve annak nem triviális voltát. Határozzuk meg a prímtényezős felbontás és a fa - diagram segítségével az osztók számát (grafikonja nem folytonos vonal, nem monoton).
Vizsgáljuk táblázat segítségével a prímek eloszlását 1 és 10000 között, figyeljük meg a gyakoriság és eloszlás érdekességeit. Keressünk adott darabszámú összetett számot prímek között! Mutassuk meg a prímek előállításának nehézségeit, villantsunk fel felvetéseket a modern matematika témáiból.
Követelmény
A tanulók
Geometria
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A tengelyes és középpontos tükrözés felelevenítése után újabb transzformációval: az eltolással ismerkedünk meg. Az eltolás jellemzőjeként bevezetjük a vektor fogalmát. Vizsgáljuk vektorok egyenlőségét, a nullvektor szerepét. Eltolások egymásutánjával vizsgáljuk a vektorok összegzését, két vektor esetére megismerkedünk a paralelogramma - szabállyal. Vizsgáljuk a vektorok kivonását és számmal való szorzását is. Megállapítjuk az eltolás tulajdonságait, összehasonlítjuk az eddig megismert egybevágósági transzformációkkal. Vizsgáljuk az egyállású szögek egyenlőségét. Felvetjük párhuzamos tengelyekre vonatkozó egymás utáni tükrözések egymásutánjának problémáját, tapasztalatszerzés után megállapítjuk az eltolással való kapcsolatát. Elmozdulással, sebességgel, erővel kapcsolatos feladatokat oldunk meg vektorok segítségével.
Megismerjük a pont körüli forgatás fogalmát, adott alakzatok elforgatásával a diákok felfedezik a forgatás tulajdonságait. Ezeket összegezzük és hasonlítsuk össze a már ismert transzformációkkal, állapítsuk meg a pont körüli forgatás és középpontos tükrözés kapcsolatát. Vizsgáljuk adott alakzat képét két derékszöget, majd tetszőleges szöget bezáró tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja esetén, vonjuk le a tapasztalatokat. Keressünk forgásszimmetrikus alakzatokat a természetben és a mindennapi életben, írjuk le szimmetriájukat. Alkalmazzuk az elforgatást szerkesztési feladatokban.
Összegezzük tapasztalatainkat, összefoglaljuk a megismert transzformációk közös tulajdonságait, majd megfogalmazzuk az egybevágósági transzformáció tartalmát és definícióját.
A forgásszimmetria szemléletesen megalapozza a körrel kapcsolatos ismeretek tárgyalását. Szemléletesen mutassuk meg a kör kerületére és területére vonatkozó képlet hátterét, végezzünk kerület - és területszámítási feladatokat. Figyeljük meg a középponti szög és a körív arányosságát, gyűjtsünk tapasztalatot egységsugarú kör adott középpontú ívének kiszámításában, majd vezessük be a radián fogalmát, végezzünk átszámításokat fokból radiánba és vissza, különös tekintettel a “nevezetes” szögekre. Ebben a témakörben sok matematikatörténeti vonatkozást is mutathatunk (pl. p - re vonatkozó érdekességek, újfok, stb.)
háromszögek csoportosítása után oldjunk meg szerkesztési és számítási feladatokat derékszögű háromszögben, a diákok sejtsék meg, majd bizonyítsuk be Pitagorasz tételét (a diákok maguk is felkészülhetnek különféle átdarabolásos bizonyítások bemutatására, mágnestáblán vagy írásvetítőn igen látványos). Végezzünk számításos feladatokat a Pitagorasz - tétel alkalmazására (derékszögű háromszög oldalai, külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok, húrhossz számítása). Szerkesztési feladatokkal mélyítsük tovább a ponthalmazokról és transzformációkról eddig tanultakat, valamint végezzünk összetettebb számítási feladatokat a Pitagorasz - tétel és a területszámítás egyidejű alkalmazására.
A területszámítás után térbeli alakzatokat vizsgálva először a kocka és egyenes hasábok, majd az egyenes körhenger tulajdonságaival foglalkozunk. Érdemes vizsgálni ezek szimmetriáit a síkbeli analógiák alapján, így adva ízelítőt a térbeli egybevágósági transzformációkból. Foglalkozzunk a testek hálózatával, majd keressük meg a felszín és térfogat kiszámítási módjait, jól gyakorolva ezzel a síkalakzatoknál szerzett ismereteket. Az adatok megadásánál figyeljünk arra, hogy legyen szükség mértékegység - átváltásra, jól rögzítsük a terület - és térfogat mértékegységek váltószámait! Érdekességképpen a témát ókori problémák ismertetésével zárhatjuk (a négyzet oldala és átlója összemérhetetlen, a kocka térfogata szerkesztéssel nem megkettőzhető).
Követelmény
A tanulók
ismerjék a következő fogalmakat: vektor - hossza, iránya, állása; egyenlő vektorok; vektorok összege, különbsége, számmal való szorzása
tudjanak elvégezni vektorműveleteket egyirányú, ellentétes irányú, különböző állású vektorok között
ismerjék az eltolás tulajdonságait, az egyállású szögek fogalmát
ismerjék az eltolás és tengelyes tükrözések egymásutánjának kapcsolatát
tudjanak adott pontot vagy síkidomot elforgatni adott pont körül adott szöggel
síkidomhoz és képéhez a forgáscentrumot és a forgatás szögét meghatározni
ismerjék és értsék az elforgatás tulajdonságait
értsék az egybevágósági transzformáció fogalmát
tudjanak szögeket átváltani fokról ívmértékre és fordítva
ismerjék és magabiztosan alkalmazzák a kör kerületének és területének kiszámítására vonatkozó képletet
ismerjék a körív és körcikk fogalmát, tudják a körív hosszának és körcikk területének kiszámítási módját
a tanulók jól értsék a Pitagorasz - tétel szövegét
ismerjék a tétel valamelyik bizonyítási módját
tudják alkalmazni egyszerű sík - és térbeli alakzatok adatainak meghatározására
Gráfok, kombinatorika valószínűségszámítás
30 óra
Fejlesztendő képességek
szövegértés
szöveg alapján egyszerű modell megalkotása
kísérlet lehetséges kimeneteleinek számbavétele
szisztematikus kísérletezés
rendszerező, tervszerű lejegyzés
lehetséges esetek szisztematikus felsorolása
algoritmizáló képesség
adatok rendszerezése, szemléltetése, értelmezése
Tananyag
Kezdetben ismert témájú feladatokat tűzzünk ki, majd fokozatosan bővítsük a kérdések körét. Egyes feladatok az eddigi fogalmak elmélyítését szolgálják, míg mások új fogalmakat készítenek elő (fa, erdő, fokszám, összetett gráf, komplementer gráf, bejárhatóság). A feladatok megoldása során legyen szükség különféle gráfok felrajzolására, az új fogalmakat sok tapasztalat alapján akkor vezessük be, amikor a jelentőségéről a feladatmegoldás során már meggyőződtünk. A fokszám, teljes gráf, komplementer gráf, erdő fogalmával kapcsolatosan sok olyan kérdés is feltehető, melyek kombinatorikai asszociációt tartalmaznak, illetve megoldhatunk kombinatorika feladatokat gráfok segítségével. Értelmezzük a különböző megoldási utakkal kapott eredményeket! Jól kapcsolódik a számelmélethez az összetett számok osztóinak megkeresése fa - diagrammal, az osztók számára vonatkozó összefüggés megsejtése a gráf alapján. Folyamatosan ösztönözzük a tanulókat, hogy az eredményeket a szemlélettel, a várakozással hasonlítsák össze!
Először a hetedik osztályban szerzett tapasztalatokat és ismereteket elevenítjük fel feladatokon keresztül, majd olyan problémákat oldunk meg, ahol valamilyen megkötés miatt nem az összes lehetőség képezi a megoldást (sorban állásnál fiúk - lányok felváltva, kockadobásnál az összeg páros stb.) Ezzel jól gyakoroljuk az eljárások tudatos megválasztását, és elkerüljük a mechanikus gondolkodást, miközben a kiindulásként használt általános képlet megértése és alkalmazási készsége is mélyül. A “hány olyan n jegyű szám van, amely...” típusú problémák alkalmasak a kombinatorika és számelmélet témájának összekapcsolására. Rámutatunk, hogy egyes feltételeknek több, másoknak kevesebb eset felel meg, ezzel mélyítve a kombinatorika és a kombinatorikus valószínűség kapcsolatát.
Érdemes megmutatni a hatványfüggvények és a faktoriális növekedési tulajdonságait, és ennek kombinatorikus megnyilvánulását, azaz az esetek számának rohamos növekedését az alaphalmaz növelése esetén.
Ismert kombinatorika feladatokat oldjunk meg más szövegezéssel valószínűségszámítási köntösben. Tegyünk fel olyan kérdéseket, melyekben az általunk megjelölt különféle kimenetelek összességükben a teljes eseményrendszert adják (pl. kockával A: prímet B: négyzetszámot C: hatost dobunk) - figyeljük meg a halmazok viszonyát és a valószínűségek összegét! A feladatok alapját képező kombinatorikai problémák szintje megegyezik a kombinatorikában korábban elért szinttel, így gyakoroltatja a kombinatorikai ismereteket. Játsszunk szerencsejátékokat, állapítsuk meg úgy a nyereséget, hogy nem azonos valószínűségek esetén is igazságos legyen a játék. Oldjunk meg célbalövéses feladatokat bármilyen, geometriai ismereteknek megfelelő formájú céltábla esetén.
Követelmény
A tanulók
pontosan ismerjék a gráf fogalmát, ábrázolását síkbeli ábrán
legyenek képesek konkrét fa - diagramok elemzésére (összefüggőség, fokszám, élszám)
ismerjék fel az egy vonallal bejárhatóság feltételét, adják meg a bejárás algoritmusát
ábrázoljanak folyamatokat, játékokat irányított gráffal
tudjanak egyszerű kombinatorikus feladatokat megoldani
tanulók tudjanak kombinatorikus módszerrel valószínűségszámítási problémákat megoldani
Ismerjék fel egy feladatban a teljes eseményrendszert
Legyenek képesek egyszerűbb geometriai valószínűségi feladatok megoldására
tudjon példát mondani lehetetlen és biztos eseményre
Matematika 9. osztály
Folytatjuk az előző két évben kiemelt kognitív és szociális képességek, attitűdök fejlesztését. 14-15 éves korban kezd fontossá válni a diákok számára önmaguk és környezetük megismerése. Ilyenkor kezdődik a kételkedés, a mindent megkérdőjelezés, a felnőtt tekintély elvesztésének korszaka. Ezt jól ki lehet használni a matematika tanításában a bizonyítási igény felkeltésében. A bizonyítások fejlesztik a diákok logikus gondolkodását, és már képesek élvezni magát a bizonyítást is. Ez a korosztály igen fáradékony, türelmetlen, a gyakorlást unalmasnak tartja. Pedig az önállóan vagy segítséggel felfedezett eljárásokat, módszereket, tételeket, összefüggéseket főleg gyakorlással lehet megtanulni. Ezért is tartjuk nagyon fontosnak a különböző módon szervezett tanórákat, illetve egy-egy új ismeret többoldalú, többszempontú megközelítését. A kitűzött elméleti tananyaggal és feladatokkal az a célunk, hogy továbbfejlesszünk bizonyos gondolkodásbeli elemeket, ilyenek:
Továbbá fejlesszük a következő képességeket:
Erősíteni szeretnénk a diákok
iránti igényét.
A matematika tanulása közben fejlődik a diákok más tantárgyban használt képessége: emlékező, önállóság, vitakészség, alaposság, eredetiség, tervszerűség, kritikai érzék, sík- és térszemlélet.
Követelmény
A tanulók
Részei
1. Algebra I.
2. Függvények és a statisztika elemei, grafikonok
3. Geometria
4. Algebra II.
5. Számelméleti bizonyítások, valószínűségszámítás
1. Algebra
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Az eddig megszerzett ismeretekre alapozva tovább építjük az algebrát.
Két vagy több szám legkisebb közös többszörösének keresése átvezet két vagy több algebrai kifejezés legkisebb közös többszörösének felírásához. Tudatosítani kell az algebrai kifejezések szorzattá alakításának jelentőségét. A bonyolultabb algebrai törtek összevonása, egyszerűsítése, szorzása és osztása szükségessé teszi egyrészt a kiemelés és az eddig megismert nevezetes azonosságok felelevenítését, másrészt a köbös, illetve negyedik hatványok különbségére vonatkozó szorzattá alakítás megismerését. A törtes egyenletek megoldásakor szerzett ismereteket felhasználva lehet az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek megoldásait pontosítani. Változatos egyenletek megoldásával lehet az ismereteket elmélyíteni.
Az egyenlőtlenségek megoldásában a tanulóknak már elég sok tapasztalatuk van. Ezeket az ismereteket kell rendszerezni. Az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek megoldását a számláló és a nevező előjelvizsgálatával célszerű végezni, és érdemes rámutatni arra, hogy a módszer több tényező esetére is általánosítható. Természetesen érdemes megmutatni a beszorzásos módszert is annak nehézségeivel együtt. A jobb képességű tanulókkal paraméteres feladatokat is érdemes megoldani.
Követelmény
A tanulók
2. Statisztika és függvények
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Átismételjük a halmazok egymáshoz rendelését, az egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű egymáshozrendelés fogalmát, a függvények megadási módjait, az értelmezési tartomány és az értékkészlet jelentését, a lineáris függvény grafikonjának ábrázolását, az egyenes és fordított arányosság fogalmát és alkalmazását.
Pontosítjuk a matematikában használatos függvényjelöléseket, gyakoroltatjuk ezek használatát. A függvény fogalmának elmélyítésére alkalmas a geometriai transzformációk függvény szempontú ismétlése.
Különböző algebrai átalakításokkal lineárissá tehető függvények ábrázolását gyakoroljuk. A grafikonok kapcsán bevezetjük a függvényvizsgálati szempontokat. A függvény vizsgálatát több oldalú, változatos szempontú kérdések alapján gyakoroljuk.
Konkrét gyakorlati alkalmazás során megtanulják az adatgyűjtés és feldolgozás módszerét. Készítenek gyakorisági és relatív gyakorisági táblázatokat, meghatározzák a statisztikai mutatókat. Az adatok alapján grafikonokat és diagramokat készítenek.
Új függvényekkel (abszolút érték, másodfokú, reciprok) ismerkedünk. Néhány összetett függvény grafikonját értéktáblázat segítségével ábrázoljuk. Az értéktáblázat készítésének mechanikus folyamata és a megsejtett törvényszerűségek motiválják a tanulókat az egyszerűbb ábrázolási technikák keresésére. Így jutunk el a függvénytranszformációhoz. Tapasztalatszerzés után eljutunk az f(x)+a; f(x+a); f(x+a)+b; -f(x); -f(x+a)+b szerkezetű függvények ábrázolási szabályához. A grafikonok megrajzolását motiválni lehet összetettebb, algebrai módszereinkkel még nem megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldásával. Ezek a feladatok alkalmasak az abszolút érték, a nevezetes azonosságok, algebrai átalakítások, a helyettesítési érték fogalmának gyakorlására.
Követelmény
A tanulók
3. Geometria
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A témában eddig tanultak rendszerező összefoglalása, kiegészítése, az alapismeretek pontosítása. A háromszögekkel kapcsolatos tételek bizonyítása, alkalmazása. Egybevágósági transzformáciokkal kapcsolatos ismeretek pontosítása, alkalmazása szerkesztésekben. A négyszögekkel kapcsolatos ismeretek pontosítása, alkalmazása szerkesztésekben. A körrel kapcsolatos ismeretek. Kerületi és középponti szögek megismerése, alkalmazása. Thalész-tétel bizonyítása és alkalmazása.
Követelmény
A tanulók
4. Algebra II.
30 óra
Fejlesztendő képességek
A kombinációs
algoritmizáló és analizáló
a pontosságra való törekvés fejlesztése
Ellenőrzésre vonatkozó igény erősítése
Szaknyelvi szókincs használata
Szintetizáló képesség
Kövekeztető
Algoritmizáló, absztrakciós készség fejlesztése
Gazdaságosságra való törekvés megerősítése
Önellenőrzés,
pontosságra való törekvés,
koncentráció fejlesztése
A matematika alkalmazhatóságának, hasznosságának bemutatása
A szövegértő,
lényeglátó,
problémamegoldó képesség,
kreativitás fejlesztése
Tananyag
Az egyenletrendszer fogalmának kialakítását, megértését, tisztázását segítik azok a feladatok, amelyek megoldásakor több feltételt kell figyelembe venni. Ilyenek a megoldáshalmazok derékszögű koordináta - rendszerben való ábrázolására vezető kétismeretlenes egyenletek; az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek; egyszerű diofantikus egyenletek; két függvénygrafikon metszéspontjának algebrai úton való keresése. Ilyen előkészítés után a tanulóknak természetesek lesznek a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldási módszerei, melyeket alkalmasan választott egyenletrendszerek megoldása közben a tanulók maguk fedeznek fel. Külön hangsúlyt fektessünk a megoldhatóság feltételeire, a megoldások számára és az ellenőrzésre!
A szorzattá alakítási lehetőségek ismétlésekor mód nyílik másodfokú egyenletek megoldására. Alkalmasan választott együtthatók esetén észrevehető, hogy a teljes négyzetként felírt alak két elsőfokú tényező szorzatává alakítható, és így az egyenlet megoldható. A másodfokú egyenletek algebrai és grafikus megoldásával gyakorolni lehet a szorzattá alakítást. A megoldások keresése fontossá teszi a négyzetgyök fogalmának tisztázását.
Elegendő tapasztalatszerzés után kerül sor az általános alakban adott másodfokú egyenlet megoldására olyan formán, hogy az egyenlet végigszámolása előtt a megoldási utat egy adott másodfokú egyenleten végiggondoljuk. Az általános megoldás elvezet a megoldóképlethez. Fokozatosan nehezedő, összetettebb egyenleteket oldunk meg. Mutassuk meg, hogy a megoldóképlet egyszerűbbé teszi az egyenletek megoldását, bár alkalmazása nélkül is el lehetne jutni a megoldásokhoz.
Feltétlenül kísérje az egyenletek algebrai megoldását a grafikus mód is. Tapasztalatokat kell szerezni a másodfokú függvény grafikonja, a másodfokú algebrai kifejezés értékeinek változása és a másodfokú egyenlet megoldásainak kapcsolatában. Így válik láthatóvá a megoldások számának jelentése, illetve a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása.
Megfogalmazzuk a gyökök száma és diszkrimináns kapcsolatát, tapasztalat alapján megfigyeljük a gyökök és együtthatók közötti összefüggést.
Figyelmet fordítunk a megoldások ellenőrzésére.
Változatos tartalmú szöveges feladatokat oldunk meg. A megoldáshoz szükség van az eddig tanult egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek alkalmazására. Foglalkozunk gazdasági jellegű, alapvető pénzügyi ismereteket is nyújtó, illetve igénylő (kamat, adó, deviza, vám), számjegyes, munkavégzéses, keveréses, mozgásos, arányos feladatokkal. Gondot fordítunk a szöveg értelmezésére, a lényeg megragadására. A kreatív gondolkodást segítik a túl sok vagy túl kevés adattal megfogalmazott problémák.
Követelmény
5. Számelmélet és valószínűségszámítás
30 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Egyszerű algebrai kifejezésekből kiindulva tekintjük át újra a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 - zel való oszthatósági szabályokat. Az algebrai kifejezések első -, másod -, majd magasabbfokúak legyenek. Az oszthatósággal párhuzamosan a kifejezéseket maradékosztályok szempontjából is vizsgáljuk.
Külön térjünk ki az algebrai törtek vizsgálatára.
Gyakoroltassuk az algebrában megszerzett szorzattá alakítási ismereteket az oszthatósággal kapcsolatos bizonyításokban, valamint vizsgáljunk egymást követő természetes számok szorzatával, négyzetszámok, köbszámok, hatványkifejezések végződésével kapcsolatos állításokat.
Vizsgáljunk adott algebrai kifejezést valamely előírt tulajdonság szerint “milyen n egészre lesz...” típusú feladatokban.
Végezzünk prímekkel kapcsolatos egyszerűbb bizonyításokat.
„Mi a valószínűbb”: valószínűségi kísérletek, a valószínűség fogalmának elmélyítése. A lehetetlen és a biztos esemény. A kombinatorikus és a geometriai valószínűségi modellek konkrét példákban. (Pl: lottó, céltábla stb.)
Követelmény
A tanulók
Matematika 10. osztály
Folytatjuk az eddig is fontosnak tartott képességek fejlesztését. Ebben az életkorban a diákok a gyakorlati élet felé fordulnak. Fontossá válik számukra, hogy az amit elméletben megtanulnak, hogyan alkalmazható a gyakorlatban.
Ez az év a 4 éves képességfejlesztő szakasz utolsó éve. Éppen ezért törekedni kell arra, hogy az eddigiekben gyakorolt képességek stabilizálódjanak, illetve magasabb szintre emelkedve továbbfejlődjenek. Ez az eddig megtanult részismeretek összekapcsolásának az éve. A következő két év tananyaga erősen épít az megszerzett ismeretekre, képességekre, készségekre. Kiemelten kell kezelni az ok-okozati viszonyok észlelését az analitikus gondolkodás és diszkusszió fejlesztését. A matematikai logika szakszavait sok gyakorlással kell beépíteni a gondolkodásukba. Erősíteni kell a bizonyítási igényt, a probléma feltáró és megoldó képességet. Ebben az életkorban már képesek a diákok a valóságot modellezni, a modell segítségével a problémát megoldani, majd az eredményt a valóságra alkalmazni. Ki kell használni a tanítás során azokat a lehetőségeket, probléma-helyzeteket, amelyekben a tanulók gyakorolhatják a felelősségvállalás, a döntés, az előítélet-mentes gondolkodás, mások iránti tisztelet, a tolerancia, az együttműködés, az empátia, az önálló véleményalkotás képességét.
Ebben az évben a tanulók megválasztják további tanulmányaik irányultságát is. Differenciált tanulással a választás könnyíthető.
Törekszünk arra, hogy a tanítás - tanulás folyamata
1. erősítse meg a formális, logikus, dialektikus, problémamegoldó, konvergens, divergens, konstruktív, algoritmizáló, heurisztikus, intuitív gondolkodásbeli elemeket;
2. fejlődjön a tanulók modellalkotó, absztrakciós, analizáló, szintetizáló, diszkutáló, általánosító, összehasonlító, lényeglátó, lényegkiemelő, fogalomalkotó, összefüggéseket feltáró, következtető képessége.
Erősödjön a tanulók bizonyítási, kutatási, a szép, pontos, áttekinthető munka, az önellenőrzés iránti igénye.
Fejlődjön a tanulók emlékezőképessége, önállósága, vitakészsége, alapossága, eredetisége, kezdeményezőkészsége, sík - és térszemlélete, tervszerűsége, kritikai érzéke.
Törekedni kell arra, hogy a tanulók a négy éves munka során szerzett tapasztalataikat, készségeiket, képességeiket a matematikát tudatosan alkalmazva használhassák - minél több valóságos, gyakorlati probléma felvetésével.
Követelmény
A tanulók
1. Algebra
30+20 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A másodfokú függvényekből kiindulva felelevenítjük a teljes négyzetté kiegészítés módszerét. Szintetizáljuk a másodfokú függvények, algebrai kifejezések és egyenletek megoldása kapcsán megszerzett tudást.
Pontosítjuk a másodfokú egyenletek megoldásakor felhasznált ismereteket, fogalmakat. Elmélyítjük a diszkrimináns fogalmát. A gyöktényezős alak segítségével bizonyítjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, és alkalmazzuk egyszerűbb feladatokban. A gyöktényezős alakot használjuk algebrai törtek egyszerűsítésénél, illetve lyukas függvénygrafikonok ábrázolásánál.
A törtek vizsgálatával pontos definíciót alkotnak a tanulók a racionális szám fogalmáról, a racionális számok különböző alakjairól. Innen jutunk el az irracionális szám fogalmáig. Foglalkozunk irracionális számok keresésével. A négyzetgyök 2-ről be is bizonyítjuk, hogy irracionális. Ennek kapcsán ismerkednek az indirekt bizonyítási módszerrel. Beszélgetünk a racionális és irracionális számok számosságáról. Ennek kapcsán átismételjük a halmazok számosságára vonatkozó eddigi ismereteket. Tapasztalatokat gyűjtünk az irracionális számokkal végzett alapműveletekben is. Foglalkozunk egyszerűbb négyzetgyökös függvények ábrázolásával, grafikonjuk vizsgálatával.
Több, alkalmasan összeállított feladatsor elvégzése után a tanulók felfedezik, hogyan lehet négyzetgyökös kifejezéseket összevonni, szorozni, osztani, hatványozni. Változatosan megfogalmazott feladatok, több szempontból vizsgált gyökös kifejezések alkalmasak a műveleti azonosságok, a gyökjel alól való kivitel, illetve a gyökjel alá való bevitel gyakorlására, pontosítására, általánosítására. A „felfedezés” élménye után el kell mélyíteni a megszerzett ismereteket. A gyöktelenítés szükségességére bonyolultabb kifejezésekkel végzett műveletek segítségével lehet felhívni a figyelmet.
Az irracionális kifejezésekkel végzett műveleteknél megtanult ismereteket alkalmazzuk az irracionális egyenletek megoldásában. Elengedhetetlen a gyökök ellenőrzése, de fontosnak tartjuk annak megkeresését is, hogy melyik lépésnél keletkezett a hamis gyök. Így tapasztalatot gyűjtenek az egyenletek ekvivalenciájának kérdéskörében is.
Néhány egyszerűbb magasabb fokú egyenlet megoldásával megmutatható az új ismeretlen bevezetésének módszere, az egyenletrendszerek megoldásánál pedig minden eddigi ismeretet mélyíthetünk.
Követelmény
A tanulók
2. Statisztika és valószínűségszámítás
10 óra
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Felidézzük és elmélyítjük a statisztika tanult eszközeit és fogalmait. Kiegészítjük a terjedelem, a szórás és az átlagtól való eltérés fogalmával.
Gyakorlati példákon keresztül felelevenítjük és elmélyítjük a valószínűségszámításhoz szükséges kombinatorikai ismereteket. Elmélyítjük a valószínűségszámítás idáig megismert fogalmait és eszközeit. Megismerkedünk a független események fogalmával, a teljes eseményrendszerrel és a feltételes valószínűséggel.
Követelmény
A tanulók
3. Sorozatok (30 óra)
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A tanulók eddigi tanulmányaikban már találkoztak számsorozatokkal (halmazoknál, kombinatorikában, számelméletben, függvényeknél stb.), de eddig nem a sorozat maga, hanem inkább elemeinek halmaza képezte a vizsgálódás tárgyát. A sorozat fogalmát egyszerű dal kottaolvasásával vezetjük be, ezzel világítva rá az elemek sorrendjének jelentőségére. A tapasztalatokból kialakul a számsorozat általános fogalma. Több feladat foglalkozik a “tagja - e az adott sorozatnak; ha igen hányadik” kérdéskörrel. Foglalkozunk a számsorozatok megadási módjaival - különös tekintettel a képlettel és a rekurzívan megadott sorozatokra. Felhívjuk a figyelmet a számsorozat és a függvények kapcsolatára. Egyszerűbb sorozatok vizsgálatával is foglalkozunk a tagok száma, monotonitás, korlátosság szempontjából.
A számtani és mértani sorozatokat párhuzamosan vizsgáljuk. Foglalkozunk numerikusan és különböző paraméterek segítségével megadott számtani és mértani sorozatok különböző elemeinek a meghatározásával. Elmélyítjük az adott sorozathoz való tartozás fogalmát. A tanulók maguk fedezik fel, és egyszerűbb szöveges feladatokban alkalmazzák az n - edik elem kiszámítására vonatkozó összefüggést.
Pl. az életkereset kiszámítására vonatkozó feladattal motiválni lehet a számtani sorozat összegének kiszámítására vonatkozó összefüggés megkeresését. Fontos, hogy számtani sorozat esetén a tanulók a tagok számtani közepének felhasználásával, illetve a szokásos gondolatmenettel is eljussanak az összegképlethez, illetve hogy mindkét indoklás aktívan éljen bennük, és a feladatmegoldásban a célszerűbb gondolatmenetet kövessék. A mértani sorozat összegképletének bizonyításával is foglalkozzanak a tanulók. Numerikus és szöveges feladatok megoldásával gyakoroljuk és elmélyítjük az ismereteket.
A számtani és mértani közép fogalmát már ismerik a tanulók. Ebben a részben lehetőség nyílik más szempontú megközelítésükre, az adott sorozatban betöltött speciális szerepük miatt hatékony alkalmazásukra, gyakorlásukra.
A szöveges feladatok alkalmasak a számtani, mértani sorozatokkal kapcsolatos fogalmak, összefüggések gyakorlására. A pénzügyi, gazdasági, biztosítási problémákkal foglalkozó feladatok megoldásához új fogalmakat kell megtanulni. Ilyenek: a kamatos kamat - számítás, diszkontálás, járadékszámítás (életjáradék), életkereset stb.
Követelmény
A tanulók
Geometria (30 óra)
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A középpontos hasonlóságot a vetítés, dia, árnyék stb. segítségével szemléletesen vezessük be, szerkesszük meg egyszerűbb alakzatok (pont, szakasz, egyenes, sokszög, kör) középpontosan hasonló képét, sejtsük meg és foglaljuk össze a középpontos hasonlóság tulajdonságait, vessük össze az egybevágósági transzformációkkal. Szerkesszük meg alakzatok képét, ha adott a hasonlóság középpontja, valamint egy pont a képével együtt, illetve szerkesszük meg adott középpontosan hasonló alakzatokhoz a hasonlóság középpontját. Mutassunk gyakorlati példákat kicsinyítésre, nagyításra (tervrajz, makett, filmvetítés stb.)
A tapasztalatokat rendszerezi és indokolja a párhuzamos szelők tétele. A párhuzamos szelők tételét számítási és szerkesztési (szakasz adott arányú osztása) feladatokban is alkalmazzuk. A középpontos hasonlóság tulajdonságait vizsgálva eljutunk a hasonlóság fogalmához. Foglalkozunk a háromszögek hasonlóságának alapeseteivel. Fontos, hogy a tanulók nem párhuzamos állású háromszögeknél is magabiztosan megtalálják a megfelelő oldalpárokat, hogy ezzel előkészítsük a magasság- és befogótételt, valamint a szögfüggvények bevezetését. A magasság- és befogótételt a diákok a megfelelő aránypárok felírásával maguk fedezik fel. Foglalkozzunk különféle síkidomok esetén a hasonlóság elégséges feltételeivel, szabályos síkidomok hasonlóságával. Vizsgáljuk a trapéz tulajdonságait a hasonlóság alapján! Oldjunk meg “életszerű” feladatokat (térkép, alaprajz alapján hosszúságok, területek számítása (külön emlékezzünk meg a területek arányáról általában, az erre vonatkozó tényt a tanulók a konkrét feladatokban tapasztalják, ez megkönnyíti az általánosítást). Ismert feladatok segítségével számíthatjuk tereptárgyak magasságát, ilyen számításokat akár a gyakorlatban is elvégezhetünk.
Sok szemléltetés segítségével, a tanulókkal közösen “találjuk ki”, hogy hogyan lehetséges és célszerű a térelemek távolságát és szögét definiálni, majd végezzünk elemi geometriai ismereteinkkel kivitelezhető számításokat (téglatest csúcsai és testátló távolsága, kocka kitérő lapátlóinak szöge). Figyeljünk arra, hogy a tanulók elsajátítsák “használható” síkbeli ábrák készítését a térbeli alakzatokról. Vessük fel a merőleges síkokban futó egyenesekre vonatkozó tételt, és szemléltessük a kocka különböző síkmetszetein.
Szemléletes felvetéssel (pl. pénzérmékből kirakott egyenes és ferde torony) vessük fel a Cavalieri - elvet, vitassuk meg feltételeinek szükségességét! A háromszög alapú hasáb és háromoldalú gúla kapcsolatát lehetőleg kézbe adott szemléltetőeszközzel mutassuk meg majd a térfogat - képlet megbeszélése után végezzünk felszín - és térfogatszámítási feladatokat! Ezek a feladatok alkalmasak az eddig megismert számítási eljárások ismétlésére (Pitagorasz - tétel, területképletek).
Elevenítsük fel a gömb, mint mértani hely fogalmát! Foglalkozzunk a gömb síkmetszeteivel, beszéljünk a szélességi és hosszúsági körökről! Az Egyenlítő jól ismert hosszából számítsuk ki a Föld sugarát! A gömb térfogatának meghatározása Cavalieri - elv segítségével jól használja az eddig tanultakat. A térfogat - és felszínképletet összetett feladatokban is alkalmazzuk!
Követelmény
A tanulók
5. Trigonometria (30 óra)
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A témát a vektorműveletek ismétlésével, és egyúttal az ismeretek mélyítésével kezdjük. Az összeadás megfordításaként vektorok adott irányú összetevőkre való bontásával foglalkozunk, megállapítjuk az egyértelmű vektorfelbontás tényét. A vektorok koordináta - rendszerben való ábrázolásához szükségünk van a koordináta - rendszer árnyaltabb felfogására - bevezetjük a bázisvektor és a helyvektor fogalmát. Műveleteket végzünk most már koordinátákkal adott vektorokkal, az egyértelmű vektorfelbontást felhasználva. Megkeressük a vektor hosszát megadó összefüggést, bevezetjük az egységvektor fogalmát.
Egységvektort forgatva a koordináta - rendszer középpontja körül, a végpont koordinátáit vizsgálva jutunk el sina és cosa definíciójához, illetve az x®sinx, x®cosx függvényhez. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó függvényértékeket Pitagorasz - tétellel! A hasonlóság alkalmazásával vizsgáljuk sina és cosa jelentését hegyesszögű háromszögben. Mutassuk meg az egységvektor megfelelő transzformációja segítségével a különböző síknegyedekbe mutató egységvektorok és első negyedbeli megfelelőjük kapcsolatát, a diákok önálló tapasztalataira alapozva. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó értékeket, az első síknegyed alapján valamennyi síknegyedre. Vizsgáljuk a teljes szögnél nagyobb és negatív forgásszögekhez tartozó értékeket is. Táblázat segítségével határozzuk meg a különböző szögekhez tartozó értékeket, illetve adott értékhez az összes lehetséges megoldást. Fentiek gyakorlására egészen egyszerű trigonometrikus egyenleteket is megoldhatunk, illetve egyszerűbb azonosságokat bizonyíthatunk.
Rátérve a derékszögű háromszögre mélyítsük el annak felismerését, hogy az itt használt szögfüggvény - fogalom a derékszögű háromszög hegyesszögei esetén ekvivalens a definícióval, és alkalmas az ismeretlen adatok meghatározására. Sok feladattal gyakoroljuk az adatok ismeretében a helyes szögfüggvény kiválasztását, színesítve életszerű, távolság, mélység, magasság meghatározásáról szóló feladatokkal. Foglalkozzunk az általános háromszög oldalakat és közbezárt szöget tartalmazó területképletével, használjuk fel a szabályos n - szög területének meghatározásához. Számítsuk ki szabályos sokszögek területét az oldal ismeretében először konkrét értékekkel, majd paraméteresen is. Végezzünk felszín - és térfogatszámítási feladatokat is, felhasználva és elmélyítve a sík és egyenes, illetve két sík hajlásszögéről tanultakat, különös hangsúlyt fektetve a szemléletes ábrázolás technikájára, a síkmetszetek jelentőségére.
Követelmény
A tanulók
A két tanév célja, hogy a tanulókat igényeik szerint az emelt ill. középszintű érettségire és az egyetemi tanulmányokra készítse fel. Így a tanulók döntésüknek megfelelően választhatnak heti 3/4 óra, az érettségi alapkövetelményeinek megfelelő, a kötelező sávban megtartott kurzus és a heti 6 órás, kötelező sávban tartott emelt szintű felkészítő kurzus között. A 12-13. évfolyamon a tanulók megismerkednek a nehezebb matematikai anyagrészekkel. Szintetizálják eddigi ismereteiket. Tovább fejlesztjük a tanulók modellalkotó, absztrakciós, analizáló, szintetizáló, diszkutáló, általánosító, analógiát kereső, lényeglátó és kiemelő, összefüggéseket feltáró képességét, kreativitását, ötletességét.
Ebben az életkorban a diákok kisrészének van határozott elképzelése a pályaválasztásról. A többségük még húzni szeretné az időt, határozatlan, nehezen dönti el, hogy milyen irányban szeretne továbbtanulni. Az emelt- illetve középszintű kurzust aszerint választják, hogy milyen az adott tárgyhoz való viszonyuk és milyenek az otthoni elvárások.
Az emeltszintet választó diákok esetében megnő a tantárgy iránti elkötelezettség. Igénylik a felfedezés örömét, törekednek arra, hogy az elméleti összefüggéseket a gyakorlati alkalmazásokat önállóan találják ki. Képesek a matematikai szépségeinek a megtalálására. Kezd kialakulni a bizonyítási igényük, igyekeznek eddigi ismereteiket az alkalmazhatóság kedvéért stabilizálni. Gondolkodásuk differenciáltabb, a szaknyelvet pontosabban használják. A problémaérzékelő, - feltáró, –megoldó képességüket tudatosan fejlesztik. Előtérbe kerül az individuális tanulás, ez is lehetőséget ad a differenciált tanulásszervezésre. Ebben az életkorban előkerül a konkrét ismeretek általánosításának igénye, modellalkotó, absztrakciós, szintetizáló, diszkutáló gondolkodásra való törekvés.
1. Hatványozás kiterjesztése, a logaritmus fogalma és alkalmazása (32 óra)
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A fejezet célja, hogy elmélyítse a gyerekek eddig megismertessen a logaritmus fogalmával és az exponenciális és a logaritmus függvények ábrázolása alkalmazás közgazdasági témájú problémák esetén egyszerű azonosságok alkalmazása egyszerű egyenletek megoldása A fejezet alkalmas a |
A fejezet célja, hogy elmélyítse a gyerekek eddig megismertessen a logaritmus fogalmával és az exponenciális és a logaritmus függvények ábrázolása vizsgálata alkalmazás közgazdasági témájú problémák esetén (kamatos kamat, diszkontálás, annuitás) azonosságok alkalmazása egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása A fejezet alkalmas a |
| Tartalom |
Középszint |
Emelt szint |
| Hatványozás | Az n-edik gyök fogalma A hatványozás fogalmának kiterjesztése racionális kitevőre Az exponenciális függvény Egyszerűbb exponenciális egyenletek |
Az n-edik gyök fogalma A hatványozás fogalmának kiterjesztése racionális kitevőre Az exponenciális függvény és transzformáltjai Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek |
| Logaritmus | A logaritmus fogalma és azonosságai Az azonosságok alkalmazása egyszerű feladatokban A logaritmusfüggvény Egyszerű logaritmusos egyenletek A logaritmus alkalmazása egyszerű szöveges feladatokban (gazdasági, kémiai, biológiai témájú) Kamatos kamat számítása |
A logaritmus fogalma és azonosságai Az azonosságok alkalmazása összetettebb kifejezések esetén is A logaritmusfüggvény és transzformáltjai, inverzfüggvény Áttérés új alapú logaritmusra Logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek A logaritmus alkalmazása szöveges feladatokban (gazdasági, kémiai, biológiai témájú) Kamatos kamat számítása, diszkontálás, járadékszámítás, annuitás |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| Ismerje és alkalmazza a racionális kitevőkre vonatkozó
meghatározást Tudja alkalmazza a hatványozás és a logaritmus azonosságait egyszerű feladatok esetén Ismerje az exponenciális és a logaritmusfüggvény grafikonjait Tudjon egyszerű egyenleteket megoldani Legyem lépes alkalmazni a tanult fogalmakat szöveges feladatok megoldásánál |
Ismerje és alkalmazza a racionális kitevőkre vonatkozó
meghatározást Tudja alkalmazza a hatványozás és a logaritmus azonosságait Ismerje és alkalmazza az exponenciális és a logaritmusfüggvény grafikonjait Tudjon egyenleteket és egyszerű egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket megoldani Legyem lépes alkalmazni a tanult fogalmakat szöveges feladatok megoldásánál |
Koordinátageometria (32 óra)
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| A gyerekek gondolkodásában kapcsolódjanak össze olyan, a matematikának eddig látszólag teljesen különálló területei, mint pl. az algebra, a ponthalmazok, a geometriai szerkesztések Algoritmizáló képesség fejlesztése és algoritmusok alkalmazása a gyakorlatban Használják eszközként az A feladatok megoldása fejleszti a gyerekek ötletességét, pontosságra való törekvését, a gyakorlat és az elmélet összevetését. A témakör fejleszti a konstruktivitást, a leginkább célravezető
megoldási mód |
A gyerekek gondolkodásában kapcsolódjanak össze olyan, a matematikának eddig látszólag teljesen különálló területei, mint pl. az algebra, a ponthalmazok, a geometriai szerkesztések Algoritmizáló képesség fejlesztése és algoritmusok alkalmazása a gyakorlatban Használják eszközként az Gyakorolják a paraméterek használatát A feladatok megoldása fejleszti a gyerekek ötletességét, pontosságra
való törekvését, a gyakorlat és az elmélet összevetését. A témakör
fejleszti a konstruktivitást, a leginkább célravezető megoldási mód |
| Tartalom |
Középszint |
Emelt szint |
|
Vektorok, megoldáshalmazok |
Összeg-, különbség-, számszorosvektor koordinátáinak megadása az összetevő vektorok koordinátáinak az ismeretében. Vektor hosszának kiszámítása A helyvektor és vektor közötti különbség értése. A szakaszt felező pont, harmadoló, negyedelő pontok koordintátáinak meghatározásán keresztül az általános összefüggés meghatározása. A háromszög súlypontjának koordinátájának meghatározása. (A szakasz végpontjainak meghatározása, ha ismert két különböző osztópontja.) Kétismeretlenes algebrai egyenletek megoldáshalmazának ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. A lineáris függvények grafikonjának ábrázolása. Vektorok skaláris szorzata |
Összeg-, különbség-, számszorosvektor koordinátáinak
megadása az összetevő vektorok koordinátáinak az ismeretében. Vektor hosszának kiszámítása A helyvektor és vektor közötti különbség értése. A szakaszt felező pont, harmadoló, negyedelő pontok koordintátáinak meghatározásán keresztül az általános összefüggés meghatározása. A háromszög súlypontjának koordinátájának meghatározása. (A szakasz végpontjainak meghatározása, ha ismert két különböző osztópontja.) Kétismeretlenes algebrai egyenletek megoldáshalmazának ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. A lineáris függvények grafikonjának ábrázolása. Vektorok skaláris szorzata |
|
Az egyenes egyenlete |
Az egyenes irányvektoros és normálvektoros egyenlete.
Egy vektorra merőleges vektor előállítása. Adott egyenessel párhuzamos és rá merőleges egyenes előállítási eljárásai. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. A csúcspontjaival adott háromszög nevezetes vonalainak és pontjainak meghatározása. |
Az egyenes irányvektoros és normálvektoros egyenlete.
Egy vektorra merőleges vektor előállítása. Az egyenes iránytangenses alakja. Az egyenesek hajlásszöge. Adott egyenessel párhuzamos és rá merőleges egyenes előállítási eljárásai. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. A csúcspontjaival adott háromszög nevezetes vonalainak és pontjainak meghatározása. |
|
A kör egyenlete |
A kör egyenlete. A kör egyenletének átalakításai. A
körrel kapcsolatos alapfeladatok. A kör és egyenes metszéspontjainak meghatározása. Az érintő egyenletének a meghatározása egyszerű feladatokban. |
A kör egyenlete. A kör egyenletének átalakításai. A
körrel kapcsolatos alapfeladatok. A kör és egyenes metszéspontjainak meghatározása. Az érintő egyenletének a meghatározása. Két kör metszéspontjainak a meghatározása. Azonos együtthatójú mindkét másodfokú tagot tartalmazó kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A két kör egymáshoz viszonyított helyzetének eldöntése. A két kör közös érintőinek az egyenletének a meghatározása. |
|
A parabola egyenlete |
A parabola tengelyponti egyenlete. A fókuszpont,
vezéregyenes, a paraméter mint a fókusz és a vezéregyenes távolsága. (
Ha a paraméterről megengedjük, hogy negatív is lehessen, egyszerűbb a
parabola tárgyalása.) A parabola, annak tengelypontjának koordinátáit tartalmazó egyenlet. A parabola-egyenes metszéspontok meghatározása. A húr hosszának meghatározása. Az érintők meghatározása. |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| Legyen jártasságuk a
vektorokkal végzett mûveletekben A tanulók legyenek képesek az egyenes és kör egyenletének felírására különbözõ adatok segítségével. Szerezzenek gyakorlatot az alakzat egyenletének fogalmában, az egyenes és a kör egyenletét felhasználó egyszerûbb feladatok megoldásában. Egyszerűbb alakzatok metszéspontjainak meghatározása A háromszögek nevezetes vonalainak és pontjainak meghatározása |
Legyen jártasságuk a vektorokkal végzett
mûveletekben A tanulók legyenek képesek az egyenes és kör egyenletének felírására különbözõ adatok segítségével. Szerezzenek gyakorlatot az alakzat egyenletének fogalmában, az egyenes, a kör és a parabola egyenletét felhasználó feladatok megoldásában. Alakzatok metszéspontjainak meghatározása A háromszögek nevezetes vonalainak és pontjainak meghatározása |
Trigonometria II. 40 óra
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| A tanulók trigonometriával kapcsolatos készségeinek és
ismereteinek a felfrissítése A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása gyakorlatias feladatokban Trigonometrikus összefüggések és függvények alkalmazása fizikai, földrajzi feladatokban Egyszerű, másodfokú egyenletre visszavezethető egyenletek megoldása Számológép és függvénytáblázat használata Függvényszemlélet, elmélyültség, koncentrált figyelem, kitartás fejlesztése |
A tanulók trigonometriával kapcsolatos készségeinek és
ismereteinek a felfrissítése A szinusz- és koszinusztétel alkalmazása gyakorlatias feladatokban Trigonometrikus összefüggések és függvények alkalmazása fizikai, földrajzi feladatokban Addíciós tételek ismerete és alkalmazása Trigonometrikus egyenletek megoldása Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása Függvényszemlélet, elmélyültség, koncentrált figyelem, kitartás fejlesztése |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
|
|
Ismétlés |
A szögfüggvények definíciói, a szögmértékek és
átváltásaik. Az egységkörös ábrázolása szögfüggvényértékeknek. Az egységvektor
szöge és annak tükörképeinek a szöge közöt- Trigonometrikus függvények ábrázolása Egyszerű egyenletek. |
A szögfüggvények definíciói, a szögmértékek és
átváltásaik. Az egységkörös ábrázolása szögfüggvényértékeknek. Az egységvektor szöge és annak tükörképeinek a szöge közötti összefüggések. Trigonometrikus függvények ábrázolása és transzformációja Egyszerű egyenletek. |
|
Új anyagrészek |
Szinusztétel, koszinusztétel Másodfokú egyenletre visszavezethető egyenletek |
Szinusztétel, koszinusztétel Addíciós tételek alkalmazása Másodfokú egyenletre visszavezethető egyenletek Egyszerű egyenlőtlenségek |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| A tanulók ismerjék a második, harmadik, negyedik
koordinátanegyedbe eső egység- vektorok koordinátái és az első negyedbe eső egységvektor koordinátái közötti összefüggést Ismerjék a kiegészítő szögek és a pótszögek szögfüggvényei közötti összefüggéseket Tudják használni az azonos szöghöz tartozó sinus és cosinus függvényértékek közötti összefüggést Tudjanak egyszerű trigonometrikus egyenleteket megoldani Ismerjék a szinusz- és koszinusztételt és tudják alkalmazni feladatok megoldásában Legyenek képesek a trigonometrikus alapfüggvényeket ábrázolni |
A tanulók ismerjék a második, harmadik, negyedik
koordinátanegyedbe eső egység- vektorok koordinátái és az első negyedbe eső egységvektor koordinátái közötti összefüggést Ismerjék a kiegészítő szögek és a pótszögek szögfüggvényei közötti összefüggéseket Tudják használni az azonos szöghöz tartozó sinus és cosinus függvényértékek közötti összefüggést Tudják alkalmazni az addíciós tételeket azonosságok és egyenletek megoldásában Ismerjék és bizonyítsák a szinusz- és koszinusztételt és tudják alkalmazni feladatok megoldásában Legyenek képesek a trigonometrikus alapfüggvényeket ábrázolni és transzformálni |
Kombinatorika, valószínűségszámítás 26 óra
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| A kombinatorikai témájú szöveges feladatok esetén a
megfelelő matematikai modell megtalálása és alkalmazása A Pascal-háromszög alkalmazása A valószínűség klasszikus értelmezésének bemutatása feladatokon keresztül |
A kombinatorikai témájú szöveges feladatok esetén a
megfelelő matematikai modell megtalálása és alkalmazása A Pascal-háromszög alkalmazása A matematikai gondolkodás fejlesztése a kombinatorikai témájú feladatokon és bizonyításokon keresztül A valószínűség klasszikus értelmezésének bemutatása feladatokon keresztül |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
|
|
Kombinatorika |
Pascal-háromszög építése, képzési szabálya A Pascal- háromszög elemeinek jelentése, a képzési szabály jelentése, a binomiális együtthatók kiszámítása Sorbarendezési és kiválasztási feladatok |
A permutációk, variációk, kombinációk (ismétlés nélkül) kiszámítására vonatkozó képlet ismerete, bizonyítása. Pascal-háromszög építése, képzési szabálya A Pascal-háromszög elemeinek jelentése, a képzési szabály jelentése, a binomiális együtthatók kiszámítása Binomiális-tétel bizonyítása és alkalmazása |
|
Valószínűségszámítás |
A klasszikus (Laplace-féle) modell alkalmazása. |
A klasszikus (Laplace-féle) modell alkalmazása. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| Tudjon egyszerű kombinatorikai témájú feladatokat
megoldani Ismerje és használja a Pascal-háromszöget Tudja alkalmazni a klasszikus valószínűségi modellt egyszerű esetekben |
Tudjon egyszerű kombinatorikai témájú feladatokat
megoldani Ismerje és használja a Pascal-háromszöget Ismerje a kombinatorika alapvető fogalmait (permutáció, variáció, kombináció) Tudja a fogalmakat alkalmazni Ismerje a kiszámításukra vonatkozó összefüggések bizonyítását Legyen tisztában a nagy számok törvényének tartalmával |
Az emeltszintű érettségire készülő csoport kiegészítő tananyaga 74 óra
Cél:
Elmélyíteni és kiegészíteni az első négy évben tanultakat két szempontból: egyrészt biztos alapot adni az emeltszintű érettségi vizsgához, másrészt megalapozni az egyetemi, főiskolai matematikatanulást.
Számelméleti feladatok
Cél:
A tanulók képesek legyenek különböző számelméleti problémák megoldására szorzattá alakítással, illetve maradékosztályok segítségével, magabiztosan alkalmazzák az ehhez szükséges számelméleti és algebrai alapismereteket, elsajátítsák a diofantoszi egyenlet megoldását, megértsék és helyesen alkalmazzák a teljes indukciót
Tartalom:
Számok alakjára vonatkozó, oszthatósági szabállyal megoldható feladatok. Szorzattá alakítással, maradékosztállyal megoldható feladatok. Teljes indukcióval megoldható feladatok. Magasabb fokú diofantoszi problémák
Követelmények:
A fent felsorolt témákban felvételi szintű feladatok önálló megoldása.
Geometriai bizonyítási, számításos, paraméteres feladatok
Cél:
Elemi geometriai feladatok tudatos megoldásának elsajátítása, a megoldás útjának felismerése a szöveg alapján
Tartalom:
Elemi ismeretekkel megoldható feladatok. Területszámítással megoldható feladatok. Hasonlósággal, Pitagorasz-tétellel, trigonometrikus számítással megoldható feladatok. Bizonyítási feladatok
Követelmények:
Pitagorasz-tétellel, hasonlósággal, egybevágósággal, trigonometrikus számításokkal megoldható számítási és paraméteresfeladatok megoldása (térbeli feladatok is), bizonyítási feladatok elvégzése.
Függvények
Cél
Az összetett függvény, inverz függvény fogalmának elmélyítésével erősíteni a függvények használatának készségét.
Tartalom
Az alábbi típusú feladatok megoldása célszerű: Az összetett függvények témakörében: Abszolút érték és egészrész, törtrész függvényből összetett függvények ábrázolása. Az inverz függvény témakörében: Értelmezési tartomány szűkítésével invertálható függvények.
Követelmények
A tanulóknak tudniuk kell ábrázolni az abszolut érték, egészrész, másodfokú, reciprok és gyökfüggvényből összetett függvényeket, magabiztosan alkalmazva a transzformációk helyes sorrendjét. Tudniuk kell megállapítani - ha van - egy egyszerűbb függvény inverzét. Meg kell találniuk valamely kétváltozós kifejezésnek eleget tevő pontokat a derékszögű koordináta-rendszerben.
Sorozatok
Cél
Különféle sorozatok felismerése, tulajdonságai és alkalmazása feladatokban. Egyenlőtlenségek megoldása a közepekre vonatkozó összefüggések alkalmazásával.
Tartalom
Sorozatokkal kapcsolatos ismeretek, bizonyítási feladatok. Közepekre vonatkozó összefüggések. Szöveges feladatok. A teljes indukció.
Követelmény
Különféle sorozatok n-edik elemének és az első n elem összegének meghatározása és alkalmazása bizonyítási és szöveges feladatokban. A közepekre vonatkozó összefüggések és a teljes indukció alkalmazása feladatokban.
Másodfokú egyenletek, egyenlőtleségek
Cél
Vegyék észre a diákok a másodfokú, másodfokúra visszavezethető, irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek, paraméteres feladatok megoldása során felmerülő matematikai gondolatokat, azokat a feladatmegoldásban céltudatosan alkalmazzák.
Felmutatni az egyenlet és egyenlőtlenség megoldási menete közötti azonosságokat és különbözőségeket, tudatosítani a szorzattá alakítás jelentőségét, bemutatni a különböző (magasabb fokú, törtes, irracionális) egyenlőtlenségek rokonságát.
Tartalom
Az alábbi feladattípusok megoldása célszerű adott parméteres másodfokú egyenletnek mely paraméter esetén van 0,1,2 megoldása paraméter mely értéke mellett lesz a gyökök négyzetösszege (reciprokösszege, stb.) minimális, maximális a paraméter mely értékei mellett esnek a gyökök adott intervallumba
Szorzat alakban adott magasabb fokú egyenlőtlenségek megoldása. Szorzattá alakítással megoldható egyenlőtlenségek. Nehezebb törtes egyenlőtlenségek. racionális egyenlőtlenségek. Számtani-mértani középpel megoldható egyenlőtlenségek.
Követelmények
A diákoknak meg kell tudniuk határozni: paraméteres másodfokú egyenlet paraméterének értékét, ha a kérdés a megoldások számára, a gyökök nagyságára, a gyökök valamely kifejezésének szélsőértékére vonatkozik. irracionális egyenletek, paraméteres irracionális egyenletek megoldáshalmazát.
A diákoknak meg kell tudni határozni: valamely másod- ill. magasabb fokú vagy törtes egyenlőtlenség, illetve irracionális egyenlőtlenség megoldáshalmazát ismerniük és alkalmazniuk kell tudni a számtani és mértani közép közötti összefüggést.
Differenciálszámítás és végtelen sorok
Cél
A téma a harmadik évfolyamon a szabad sávban felvehető felvételire készítő tanterv része. Feldolgozása alkalmazkodik az iskola jellegéhez, és az első két év anyagához. A hagyományos középiskolai anyagtól kissé eltérően, jobban igyekszik a tanulók szemléletét formálni, azért hogy elősegítse a témában való elmélyülést és az egyetemen, főiskolán folyó magasabb szintű munkára való felkészülést. Törekszünk az elméleti tudás gyakorlati hasznosítási lehetőségeit megmutatni.Bővítjük és magasabb szintre emeljük a tanulók függvényekről szerzett korábbi ismereteit A jól ismert függvények folytonosságát (majd a határértéketis) a szemlélettel összhangban levő "sávos" definícióval vezetjük be. A differencia és differenciál hányados fogalmához is a szemlélet alapján jutunk el (fizikai példák, szelő, érintő). Megmutatjuk az analógiákat a folytonosság és a határérték között, majd a sorozatok és függvények tulajdonságai és határértéke között. Sokoldalú alkalmazásokat mutatunk ismert függvények körében, és a szélsőértékfeladatokban. Általános cél az analízis szemléletének kialakítása és ezen belül az integrálszámítás megalapozása is.
Függvények folytonossága
Cél
Az intuitív fogalomtól eljutni a szemléletes, környezetekethasználó megfogalmazásig, a "sávos" definícióig. A folytonos függvények közti műveletek megismerésével az összes eddig megismert függvényt csoportosíthatjuk folytonosság szempontjából. A szakadási helynél utalhatunk megszüntethetőségére, így eljutunk a határértékfogalomig.
Tartalom
Folytonos "görbéjű" grafikonok - a folytonosság intuitív
fogalma.Szakadási helyek és megszüntethetőségük Pontbeli folytonosság
definíciója Folytonos függvények Függvények vizsgálata folytonosság
szempontjából Egyoldali folytonosság Folyamatos függvények összegének,
különbségének, szorzatának
és hányadosának folytonossága, tételek
Követelmények
Fontos fogalmak, definíciók: szakadási hely, környezetek függvény pontbeli folytonossága (környezetekkel) folytonos függvény bal, illetve jobboldali folytonosság. A tanulók tudjanak folytonosságvizsgálatokat végezni az ismert függvények körében. Ismerjék a folytonos függvényekre vonatkozó tételeket. (Bizonyításuk nem követelmény.)
Függvény határértéke
Cél
A folytonosság fogalomhoz szorosan kapcsolódó függvényhatárérték fogalom megalkotása (a szakadások megszüntetéséből kiindulva) A folytonosság és a határérték kapcsolatának megmutatása. A pontbeli határérték általánosítása (végtelen határérték és végtelenben vett határérték).
Tartalom
Függvény határértékeinek fogalma (környezetekkel) Határértékük számítása A folytonosság kapcsolata a határértékkel (Új definíció a határérték segítségével) Függvények összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának határértéke, ezekre vontkozó tételek Végtelen értékű és végtelenben vett határértékek, asszimptóták
Követelmények
Fogalmak definíciók: függvény pontbeli határértéke függvény folytonossága (határértéken alapuló definíció) asszimptóta, végtelenben vett határérték Tudjanak a tanulók határérték-vizsgálatokat végezni az ismert függvények körében. Tudják alkalmazni a függvények határértékére vonatkozó tételeket.
Függvények differenciálhatósága
Cél
Megpróbálunk többet mondani a függvény egy adott pontbeli viselkedéséről (szelők, érintők). Szemléleti alapon eljutunk a differencia- és a differenciálhányados fogalmához, majd a függvény pontbeli és "teljes" differenciálhatóságának definíciójához. A határérték fogalmát használjuk fel.
Tartalom
Függvénygrafikonok menete, változási gyorsaság, szelők és érintő meredeksége. Pontbeli differenciálhatóság, a derivált mint a differenciahányados függvény határértéke Deriválható és nem deriválható függvények vizsgálata. Ahatványfüggvények deriváltja. Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.
Követelmények
Fogalmak, definíciók: "változási gyorsaság" differenciahányados és differenciahányados-függvény, függvény pontbeli differenciálhatósága differenciálhányados és differenciálhányados-függvény, függvény differenciálhatósága egyoldali differenciálhatóság A tanulók tudják alkalmazni a definíciókat az egyszerű függvényeknél. (pl. hatványfüggvények)
Deriválási szabályok
Cél
A deriválási szabályokat, a határértékre vonatkozó tételek (függvények összegének, különbségének stb. határértéke) analóg megfelelőiként mutatjuk be. Hatékony eszközt adunk a tanulók kezébe a bonyolultabb függvények deriválásához és később a függvényvizsgálathoz.
Tartalom
Deriválási szabályok: függvény számszorosára függvények összegére, különbségére szorzatára és hányadosára vonatkozó tételek és bizonyításuk. A tételek alkalmazása komplexebb függvények esetében.
Követelmények
A tanulók ismerjék és tudják alkalmazni a deriválási szabályokat tartalmazó tételeket. Ismerjék és gondolják végig a tételek bizonyítását.
Függvényvizsgálat deriváltfüggvénnyel
Cél
A differenciálszámítás egy nagyon fontos és hatékony alkalmazási területét mutatjuk be: a függvények vizsgálatát. A korábbi függvényvizsgálatok kiteljesíthetők és egzakttá tehetők a deriváltak segítségével és a magasabb fokú függvények vizsgálata is lehetővé válik.
Tartalom
A függvény és deriváltfüggvény menetének összehasonlítása. Tételek: kapcsolat a függvény monotonítása és a derivált előjele, szigorú monotonitás és a derivált előjele, a lokális szélsőérték és a derivált "eltűnése", a derivált előjelváltása és a lokális szélsőérték, a függvény konvexitása és a második derivált előjele, az inflexiós pont és a második derivált eltűnése között. Másod- és magasabbrendű deriváltak. Függvények teljesebb jellemzése a tételek segítségével.
Követelmények
A diákok ismerjék a derivált, valamint a magasabb rendű deriváltak és a függvény kapcsolatáról szóló tételeket. Mélyebb függvényelemzést végezzenek a deriváltak segítségével.
Differenciálszámítás alkalmazásai
Cél
Ízelítőt adni a differenciálszámítás sokféle alkalmazási területéről. Hangsúlyozni a tudásanyag hasznosíthatóságának fontosságát. Általánosabb módszert adni a szélsőérték-problémákhoz.
Tartalom
Függvények értékkészletére, szélsőértékére vonatkozó feladatok, függvények vizsgálata. Érintőkkel kapcsolatos (koordinátageometriai) feladatok megoldása deriváltakkal. Szélsőértékproblémák megoldása differenciálással (kifejezések szélsőértéke; kerületek, területek, felszínek, tértfogatok maximuma ill. minimuma)
Követelmények
Ismerjék fel a tanulók a különböző területekről vett feladatokban a deriváltak alkalmazásának lehetőségét. Tudjanak megoldani szélsőérték-feladatokat differenciálszámítás alkalmazásával.
Végtelen sorok
Cél
A végtelen sor a sorozatok fogalmának "továbbgondolása". Elősegíti a legáltalánosabb sorozatfogalom kialakulását. Végtelen sorok összegének meghatározása és alkalmazás feladatokban. A végtelen sor a sorozatok fogalmának "továbbgondolása". Elősegíti a legáltalánosabb sorozatfogalom kialakulását. Végtelen sorok összegének meghatározása és alkalmazás feladatokban. A végtelen sor a sorozatok fogalmának "továbbgondolása". Elősegíti a legáltalánosabb sorozatfogalom kialakulását. Végtelen sorok összegének meghatározása és alkalmazás feladatokban.
Tartalom
Végtelen sor fogalma Konvergens és divergens sorok Végtelen mértani sor Mértani sor összege, összegképlet Végtelen sorok alkalmazása: végtelen tizedes törtek "összege" kerület- és területösszegek konvergens végtelen sora.
Követelmények
Ismerjék a tanulók a végtelen sor, végtelen mértani sor és a végtelen sor összegének a fogalmát. Meg tudják határozni a végtelen mértani sor összegét és tudják alkalmazni az összefüggést feladatokban.
13. évfolyam
Mérni a mérhetetlent 70 óra
Ez az egység hármas célt szolgál. Egyrészt a tizenhamadikos ismétlés szerves része, másodsorban tudatosítja a távolság, kerület, terület, felszín és térfogat fogalmát, harmadszor új ismereteket nyújt az érettségi előtt álló tanulóknak. A tanulók a feladatok megoldása során ellenőrizhetik matematikai ismereteik alaposságát, alkalmazhatóságát. A fejezet időigényes, de szép példája egy fogalom matematikai felépítésének. Jól nyomon követhető az út, ahogyan a matematika az axiómáktól a definíciókon át, a tételek bizonyításától a gyakorlati alkalmazásig bezáróan kidolgoz valamilyen "problémát". A tizenharmadikos matematika a tanulók számára már a rendszerezés örömét is nyújtja. A tanulók kellően nagy ismeretanyagot halmoztak már fel, sok módszer áll a rendelkezésükre a matematikai problémák megoldására, és életkorilag is készen állnak a rendszerezésre. Ez a fejezet igen kiválóan alkalmas a geometriai ismeretek rendszerezésére.
A kerület
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| A geometriában tanult fogalmak elmélyítése gyakorlati példákon keresztül. | A geometriában tanult fogalmak elmélyítése gyakorlati példákon keresztül. |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
| Szakaszok és görbe vonalak hossza, ponthalmazok távolsága. A kerület fogalma, (a kör kerületképletének a levezetése), sok-sok gyakorló feladat. | Szakaszok és görbe vonalak hossza, ponthalmazok távolsága. A kerület fogalma, (a kör kerületképletének a levezetése), sok-sok gyakorló feladat. |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| A korábban tanult ismeretek alkalmazása egyszerű feladatokban | A tanuló tudja a metrika alapelveit, ismerje a ponthalmazok távolságának a definícióját, és az e témakörrel foglalkozó alapállításokat. A tanuló tudja, hogy a konvex, véges síkidom kerülete, a beírt sokszögek kerületének a felső határa, és mindezt a kör kerületén, mint konkrét példán végig tudja követni. A tanuló ki tudja számolni a sokszögek és a körívek kerületét, valamint térbeli polinomok összélhosszát. |
A terület
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| Ebben a részben rendszerezzük a tanulók területszámításra vonatkozó ismereteit. Felfedezik a terület tulajdonságait, azokat, amelyeket már készség szinten alkalmaztak. (Pl. A terület nem negatív valós szám, egybevágó sokszögek területe egyenlő stb.) Ebben a fejezetben jó alkalom nyílik annak gyakorlására - hogy az egész alakzat területe a részek területének az összege | Ebben a részben rendszerezzük a tanulók területszámításra vonatkozó ismereteit. Felfedezik a terület tulajdonságait, azokat, amelyeket már készség szinten alkalmaztak. (Pl. A terület nem negatív valós szám, egybevágó sokszögek területe egyenlő stb.) Ebben a fejezetben jó alkalom nyílik annak gyakorlására - hogy az egész alakzat területe a részek területének az összege |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
| A terület, mint nem negatív valós szám tulajdonságainak az összegyűjtése; a téglalap területének a meghatározása az egységnégyzet területének ismeretében; a háromszögek, a speciális négyszögek,és a szabályos sokszögek területének a kiszámítása; a kör, a körcikk és a körszelet területének a kiszámítása. Sok-sok gyakorló feladat. | A terület, mint nem negatív valós szám tulajdonságainak az összegyűjtése; a téglalap területének a meghatározása az egységnégyzet területének ismeretében; a háromszögek, a speciális négyszögek,és a szabályos sokszögek területének a kiszámítása; a kör, a körcikk és a körszelet területének a kiszámítása. Sok-sok gyakorló feladat. |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A tanuló ismerje a terület tulajdonságait. A tanuló tudja a téglalap területének a meghatározását az egységnégyzet segítségével; a paralelogramma és a háromszög területének a kiszámítását, ezen ismeretek rendszerbe foglalásával; a speciális sokszögek területének kiszámítását; a kör területének a levezetését. |
A tanuló ismerje a terület tulajdonságait. A tanuló tudja a téglalap területének a meghatározását az egységnégyzet segítségével; a paralelogramma és a háromszög területének a kiszámítását, ezen ismeretek rendszerbe foglalásával; a speciális sokszögek területének kiszámítását; kör területének a levezetését. |
Testek felszíne
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
|
Ebben a részben a felszínszámítással kapcsolatos |
Ebben a részben a felszínszámítással kapcsolatos |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A térgeometriai ismeretek felidézése és összefoglalása. A téglatest, a hasáb, a henger, a gúla, a kúp, a gömb, a csonka kúp és -gúla felszínének a kiszámítása sok-sok feladatban, változatos adatok segítségével |
A térgeometriai ismeretek felidézése és hasáb, a |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A tanulók ismerjék a hasábok, a hengerek, a kúpok és
a gúlák felszínének kiszámítási módját. A tanulók ki |
A tanulók ismerjék a hasábok, a hengerek, a kúpok és
a |
A térfogat
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
|
Ebben a részben a tanulók összefoglalják a
térfogatról |
Ebben a részben a tanulók összefoglalják a
térfogatról |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A térfogat fogalma. Az egységnyi kocka térfogatából felépítjük a hasáb térfogatát. A Cavalieri-féle elv megismerése. A hasáb, a henger, a kúp, a gúla, a csonka kúp és a csonka gúla térfogatának, valamint a gömb térfogatának a kiszámítása változatos adatokkal |
A térfogat fogalma. Az egységnyi kocka térfogatából felépítjük a hasáb térfogatát. A Cavalieri-féle elv megismerése. A hasáb, a henger, a kúp, a gúla, a csonka kúp és a csonka gúla térfogatának, valamint a gömb térfogatának a kiszámítása változatos adatokkal |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
|
A tanuló ismételje át és tudja a térfogatszámítással
|
A tanuló ismételje át és tudja a térfogatszámítással
|
Kombinatorika és valószínűség 15 óra
Cél
|
Középszint |
Emelt szint |
| A kombinatorikai témájú szöveges feladatok esetén a
megfelelő matematikai modell megtalálása és alkalmazása A valószínűségi gondolkodás fejlesztése |
A kombinatorikai témájú szöveges feladatok esetén a
megfelelő matematikai modell megtalálása és alkalmazása A valószínűségi modellek és eloszlások megismerése A valószínűségi gondolkodás fejlesztése |
Tartalom
|
Középszint |
Emelt szint |
|
|
Kombinatorika |
A középszintű érettségi követelményeinek megfelelő vegyes kombinatorikai feladatok megoldása |
Az emeltszintű érettségi követelményeinek megfelelő vegyes kombinatorikai feladatok megoldása |
|
Valószínűségszámítás |
Valószínűség kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás |
Valószínűség kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás, hipergeometriai eloszlás tulajdonságai és ábrázolása Várhatóérték, szórás fogalma és kiszámítása diszkrét, egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében. |
Követelmények
|
Középszint |
Emelt szint |
| Tudjon kombinatorikai témájú szöveges feladatokat
értelmezni, megoldani Tudjon valószínűséget számolni a klasszikus modell esetén |
Ismerje és alkalmazza a tanult eloszlásokat Tudjon szórást és várhatóértéket számolni |
Tematikus ismétlés 40 óra
Az emeltszintű érettségire készülő csoport kiegészítő tananyaga 64 óra
Cél:
Elmélyíteni és kiegészíteni az első négy évben tanultakat két szempontból: egyrészt biztos alapot adni az emeltszintű érettségi vizsgához, másrészt megalapozni az egyetemi, főiskolai matematikatanulást.
1. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek
A tanulóknak az exponenciális és logaritmus függvény tulajdonságait jól értve kell tudni az egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani.
Tartalom
A bevezető feladatokon túlmenően az alábbi feladattípusok megoldását javasoljuk: Exponenciális függvény monotonitására vonatkozó problémák. Logaritmikus és trigonometrikus összetett függvények értelmezése. Egymásba skatulyázott logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek Egyenletrendszerek.
Követelmények
Egyszerűbb exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldása a függvények kölcsönösen egyértelmű tulajdonsága alapján, a logaritmusra vonatkozó azonosságok alkalmazása, egyenlőtlenségek megoldása a monotonitás alapján, ismeretlen alapú egyenlőtlenségek megoldása esetszétválasztással.
2. Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek
Cél
Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek céltudatos megoldása a függvények tulajdonságai, addíciós tételek és algebrai átalakítások alapján.
Tartalom
Az alábbi feladattípusok megoldását javasoljuk:
Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek
Trigonometrikus azonosságok, addíciós tételek segítségével szorzattá alakítható illetve egyszerűbbé alakítható egyenletek egyenlőtlenségek
Egymásba skatulyázott trigonometrikus egyenletek
Összetett – logaritmusos, trigonometrikus, irracionális függvények értelmezése és egyenletek megoldása
Követelmények
A trigonometrikus függvények tulajdonságainak ismerete és használata, addíciós tételek és más trigonometrikus azonosságok használata, egyenletek, egyenlőtlenségek, bizonyítási feladatok megoldása a fentiek alapján.
3. Koordinátageometria
Cél
Az elemi geometriai ismeretek, az algebrai eljárások, ismeretek összekapcsolása. A koordinátageometria módszereinek alkalmazása tételek bizonyításában.
Tartalom
Összetett, elemi geometriai ismeretket is kívánó egyenesre, körre és parabolára vonatkozó feladatok megoldása.
Követelmények
Vektorok és vektorműveletek alkalmazása. Egyenes, kör, parabola egyenletének ismerete és alkalmazása feladatokban.
Integrálszámítás
A tizenharmadik évben a szabad sávban felvehető emeltszintű érettségire készítő tanterv része. A differenciálszámítás témájának folytatásaként tanuljuk ezt a fejezetet. Az integrálás a differenciálásra épül (prmitívfüggvény, integrálfüggvény) és számtalan analógia-lehetőséget biztosít a két terület (pl. deriválási és integrálási szabályok) Elmélyítjük a függvénytani tulajdonságok egymás közti kapcsolatának vizsgálatát (pl. folytonos és differenciálható ill. integrálható függvények). Az integrálás új műveletként bővíti a függvényekkel való műveletek körét. Kiegészítjük a mérésről (hosszúság, terület, térfogat) tanultakat. Gyakorlati felhasználást mutatunk ívhossz, terület és térfogat számításokban.
4. Függvény integrálhatósága
Cél
Területszámítási problémák vetik fel az új művelet szükségességét, a grafikon alatti terület meghatározásának kérdését. Az alsó és felső közelítő összegeknél hasznosítjuk a sorozatok határértékénél tanultakat.
Tartalom
Területszámítási problémák, függvénygrafikonok "alatti" terület számítása: elsőfokú függvény másod(harmad-, negyed-...) fokú függvény (parabolikus háromszög területe a beírt és a "köré" írt téglalapok területösszegének, mint sorozatnak a határértékeként a felosztás finomításával) Intervallumon értelmezett nem negatív korlátos függvény integrálhatósága általánosan: az alsó közelítő összegek felső határa egyenlő a felső közelítő összegek alsó határával (Ez a szám a grafikon alatti terület.)
Követelmények
Fogalmak: intervallum felosztása, felosztások finomítása, alsó és felső közelítő összeg, alsó és felső korlát, alsó és felső határ.
Definíció: függvény integrálhatósága intervallumon (megfogalmazás az alsó közelítő összegek alsó és felső közelítő összegek felső határának)
5. A határozott integrál
Cél
Korlátos nemnegatív függvény integrálhatóságának fogalmát kiterjesztjük a korlátos függvények teljes halmazára. Kétféle definíciót adunk az intervallumon értelmezett korlátos függvény integrálhatóságára. Megalkotjuk a határozott integrál pontos fogalmát és meghatározzuk a hatványfüggvények néhány határozott integrálját.
Tartalom
Intervallumon értelmezett korlátos függvény (határozott) integrálja kétféleképpen: alsó összegek felső határa egyenlő a felső összegek alsó határával. egyre finomodó felosztásokhoz tartozó alsó és felső összegek közös határértéke lim sn =lim Sn. Példák nem integrálható függvényekre (Dirichlet-féle függvény.) Hatványfüggvények határozott integráljainak számítása. Az integrál geometriai jelentése. Az integrál és a terület kapcsolata és eltérése (nem integrálható függvények grafikonja alatti terület, negatív függvények integrálja és a terület.)
Követelmények
Fogalmak, definíciók: integrálhatóság (kétféle definíció: alsó és felső határral ill. finomodó közelítő összegek határértékével)
Függvény intervallumon volt (határozott) integrálja.
6. Tételek az integrálról
Cél
A határértékre, valamint a differenciálhatóságra vonatkozó tételek analógiájaként megmutatjuk az integrálási tételeket. Egyúttal eljutunk összetettebb függvények (határozott) integrálásig. Bevezetjük az (adott ponthoz tartozó) integrálfüggvény fogalmát.
Tartalom
Tételek a függvénytani tulajdonságok kapcsolatáról: intervallumon folytonos illetve monoton függvények integrálhatók is; integrálható függvény részintervallumokon is integrálható. Az integrálás intervallum szerinti additivitásáról szólótétel. Integrálható függvények számszorosának, összegének és különbségének integrálhatósága és integrálja. Alkalmazás: Hatványfüggvények számszorosának, összegének, különbségének integrálása. Az integrál, mint az integrálás felső határának függvénye, integrálfüggvény fogalma.
Követelmények
A tanulók ismerjék és tudják alkalmazni az integrálási
tételeket.
Ismerjék az integrálfüggvény fogalmát, és meg tudják
határozni a már ismert és integrált függvények integrálfüggvényeit.
7. Határozatlan integrál, Newton-Leibniz formula
Cél
Módszert keresünk az integrálok értékének könnyebb számításához, és kapcsolatot találunk a differenciálszámítás és az integrálás között a Newton-Leibniz formulával. Bevezetjük a határozatlan integrál fogalmát és összehasonlítjuk az eddig ismert határozott integrálásokkal.
Tartalom
Függvény primitív függvényének a fogalma. Ismert függvények primitív függvényei, a primitív függvényhatározatlansága. Függvény határozatlan integrálja: a primitív függvények halmaza. Intervallumon értelmezett folytonos függvény integrálfüggvényének tulajdonsága: az integrál függvény, mint primitív függvény, Newton-Leibniz formula. A Newton-Leibniz formula alkalmazása az ismert függvényekre.
Követelmények
Fogalmak, definíciók: integrálfüggvény, primitívfüggvény, függvény határozatlan integrálja. Tétel: Newton-Leibniz formula (A tétel ismerete és alkalmazása a követelmény, bizonyítása nem)
8. Integrálszámítás alkalmazása: terület és térfogat számítás
Cél
Fontos gyakorlati alkalmazását mutatjuk be az integrálszámításnak: terület- és térfogatszámítás integrállal.
Tartalom
Függvény grafikonok "alatti" terület számítása (nemnegatív és általános függvények esetén). Grafikon tengely körüli forgatásával kapott forgástest közelítése beírt és körülírt hengerrendszerek térfogatának konvergenssorozatával, vagy a hengerrendszerek térfogatának közös felső illetve alsó határával. Összefüggés az ilyen módon kapott forgástestek térfolatára. Alkalmazások: forgáskúp, csonkakúp, félgömb és gömb térfogata.
Követelmények
Tudják alkalmazni az integrálást a grafikonok alatti területek számításakor, görbe vonalú síkidomok területének meghatározásakor.
Ismerjék és tudják igazolni: a grafikonok "alatti" síkidomok megforgatásával kapott forgástestek térfogatára vonatkozó összefüggést.