Matematika
5 éves gimnáziumi képzés
|
|
Tantárgyi programok | ||
|
A matematika tanulása jelentse egyaránt matematikai és szociális képességek, készségek fejlesztését valamint ismeretek szerzését. A tanulókat arra akarjuk felkészíteni, hogy eligazodjanak a világ dolgaiban, hogy megismerjék a valóság leggyakoribb mennyiségi és térbeli viszonyait, formáit, a matematika módszereit, eljárásait, sajátos gondolatrendszerét, hogy megszerezzék az ismereteknek a gyakorlatban és más tudományokban való önálló alkalmazásának képességét. A matematika tanulás lényege a matematikai tevékenység, a tapasztalatokra alapozott absztrakciós fogalomalkotás; a pontosan körvonalazott feltételekből szigorú logikai következtetésekkel kiolvasott eredmények; ezek előzetes becslése, ellenőrzése és a gyakorlatban való alkalmazása. A tananyag feldolgozása során alkalmazott módszerek segítségével lehetőséget biztosítunk többféle csoportos munkaforma kipróbálására Ezáltal fejlesztjük az együttműködési szándékot és képességet. Tapasztalatot szerezhetnek a munkamegosztásról, a team-szerepekben való részvételről, és saját működési módjukról.
Pszichológiai és didaktikai kutatások eredményei arra utalnak, hogy a tanulók szemléletének, gondolkodásmódjának fejlődése nem spontán folyamat, és nem kötődik szorosan a biológiai fejlődéshez. A gondolkodásmód fejlődése elsősorban a céltudatos tanítás hatására valósul meg, és ezért nagymértékben függ a tananyagtól és az alkalmazott módszerektől.
A tananyagot úgy választottuk ki, hogy szem előtt tartottuk: az értelmiségi pályák jó részén a team-munkában részt venni képes emberekre van szükség. El kell mélyíteni mindazokat az ismereteket, eljárásokat, módszereket, amelyekkel a gyerekek tanulmányaik első hat évében foglalkoztak; illetve fejleszteni kell azokat a készségeket és képességeket, amelyek lehetővé teszik az életkori sajátosságoknak megfelelő új tudásanyag elsajátítását. Arra törekszünk, hogy érettségizett diákjaink elég ismerettel, készséggel és képességgel rendelkezzenek a felnőtt életben való eligazodáshoz. Fontos szempont volt az is, hogy a matematikával tovább foglalkozni szándékozók megszerezzék az ehhez szükséges képességeket, készségeket és ismereteket.
Az általunk alkalmazott matematikatanításnak három alapvető sajátossága van:
Felfedeztető módszer
Kooperatívan szervezett tanulás
Epochális rendszer
Nézetünk szerint a kooperatív tanulásszervezés alkalmazásával, a felfedeztető módszer segítségével, epochális keretek között a matematikaoktatásban lehetőség van arra, hogy a tananyag feldolgozása során
kialakítsuk, illetve fejlesszük a diákok tanulási képességeit, módszereit;
építsünk a diákok tudására, aktivitására, kreativitására – függetlenül attól, hogy a matematika terén korábban milyen eredményeket értek el
figyelembe vegyük a diákok eltérő szükségleteit, fejlődési ütemét
lehetőséget biztosítsunk a gondolkodással összefüggő képességek széleskörű fejlesztésére
jótékony hatást gyakoroljunk az osztály társas kapcsolataira
fejlesszük a kommunikációs készséget
növeljük a diákok aktivitását és motiváltságát.
Koncepciónk személyközpontú, figyelembe veszi az egyéni sajátosságokat, az eltérő ütemű fejlődést, és az eltérő szükségleteket a fejlesztés során.
A felfedeztető módszer
Lényege, hogy a gyerekek egy természetes megismerési folyamatot saját megfigyeléseik, tapasztalatik alapján járnak végig. Mindezt úgy lehet elérni, hogy minden új definíció, tétel, stb. a már megszerzett ismeretekből, tapasztalatokból nő ki. Az új anyagrész tárgyalása előtt a gyerekek jól összeállított feladatsor segítségével, irányított kérdésekkel összegyűjtik és elemzik azokat a tapasztalataikat, ismereteiket, amelyek, szükségesek az új anyag önálló felfedezéséhez. Ezután a tanulók olyan feladatokat oldanak meg, illetve olyan problémákkal találkoznak, melyek megoldásában az új fogalom, eljárás stb. elemeire bontva van jelen. A megoldások során alkalmazott eljárások, fogások, eredmények alapján a lényeg kiszűrésével a gyerekek maguk fogalmazzák meg az új módszereket, eljárásokat, definíciókat, tételeket. Így – és ezt rendkívül fontosnak tartjuk – a tanulók nem definíciókat és bizonyításokat sajátítanak el, hanem definiálni és bizonyítani tanulnak meg.
A sikerrel és kellő erőfeszítéssel megoldott feladat rendkívül nagy motivációs erőt jelent a további munkában. Az a tény, hogy a gyerek saját ötletével, saját úton jutott el a feladat megoldásához, ösztönözni fogja arra, hogy legyenek saját ötletei, gondolatai, hogy merjen vitázni, hogy keressen újabb lehetőségeket a megoldásra.
E módszer segítségével a tanulók kisebb-nagyobb sikereket érnek el az órán, ennek köszönhetően felszabadultabbá, bátrabbá válnak. A módszer olyan légkört teremt, amelyben magától értetődővé válik a további munka szükségessége. Tudomásul kell azonban venni, hogy nem mindenki képes a felfedezésre, és nem lehet mindent felfedezni.
A kooperatív tanulás
Ennek során a gyerekek négy fős heterogén csoportokba szervezve dolgoznak az órán. A Spencer Kagan által kidolgozott módszerek alkalmazása biztosítja, hogy a csoportban az egyes tagok egyenlő arányban részesedjenek a munkából. A feladatok megoldása során a társas készségek egyes elemeinek (pl: a megköszönni tudás és a köszönet elfogadása, egy gondolat megfogalmazása és a másik megfogalmazásnak meghallgatása, bíztatás és a bíztatás elfogadása …) mindkét oldala megjelenik és fejlődik.
Amikor a gyerekek csoportos foglalkozás keretében akár feladatot oldanak meg, akár valamelyik tételt bizonyítják be, vagy valami új fogalmat alakítanak ki, rendszerint ötleteiket, megoldási módjukat, eredményeiket megbeszélik egymással, illetve megvitatják. Az a tény, hogy gondolataikat világosan, a többiek számára érthetően kell megfogalmazniuk, nagy segítséget jelent az új fogalmak tisztázásában, a matematikai megfogalmazások elsajátításában. A viták segítik az új fogalmak létrejöttét, ugyanis a tanulók több szempontú, több oldalú tapasztalatokból, következtetésekből alakítják ki ezeket. A viták lehetőséget teremtenek arra is, hogy a gyerekek megtanulják gondolataikat világosan megfogalmazni, logikus érvekkel alátámasztva elmagyarázni, illetve mások gondolatmenetéhez kapcsolódni. Így tehát a csoportos munka elősegíti a jó vitaszellem, vitastílus, a vitakészség kialakulását.
Ugyanakkor a csoportmunka értékelése, az építő egymásrautaltság biztosítása azt eredményezi, hogy a különböző véleményeket meghallgatva törekedjenek egymás megértésére, egy közös álláspont kialakítására, fejlesztve ezzel kompromisszumkészségüket.
Az epochális rendszer
A rendszer harmadik pillére az epochális formában történő tanulás-tanítás. Az AKG-ban a kezdetektől fogva ebben a rendszerben zajlik a diákok képességeinek fejlesztése. A tanórák hosszabbak, így a diákoknak lehetősége van arra, hogy a tananyagban jobban elmélyedjenek, hogy az ismereteiket változatos módon, több szempontból való megközelítéssel és ki-ki a maga tempójában szerezze meg. Így könnyebben lehet differenciáltan és kooperatív csoportokban tanítani.
A gyerekek képessé válnak az aktív, önálló munkára. A tanárnak lehetősége van arra, hogy ne csak a tantárgyi, hanem gondolkodásbeli, szociális és kommunikációs képességeket is fejlessze. A diákok közösen végzett munkája, egymás segítése lehetőséget ad arra, hogy sokoldalúbban megismerjék egymást, ezáltal erősödik az osztály közösségének kapcsolati hálója, és az egymás iránti empátia és tolerancia.
9. évfolyam:a a tanulásmódszertan keretében, kétszer négy hétben összesen 40 óra.
10-11. évfolyam: epochális rendszer, évi öt ill. hat epocha, epochánként 15 epochális foglalkozás.
12-13. évfolyam: a korábban tanultak elmélyítése, fejlesztése, és az ezekre épülő új fejezetek differenciált elsajátítása folyik. Ebben a szakaszban a diákok a továbbtanulási szándékuknak megfelelően választhatnak a közép- (heti 4 óra) és az emeltszintű (heti 6 óra) csoport közül.
Az értékelés szempontjai
1. Az eljárások, módszerek, összefüggések ismerete és alkalmazása
2. Az órai munka:
fegyelmezettség
figyelem
szándék az önálló feladatmegoldásra, az ismeretek befogadására és azok alkalmazására
aktivitás
3. A csoportos munka: közös munka segítése, a csoport munkájában való aktív részvétel, egymás segítése, az együttműködési készség, képesség fejlesztése, az aktivitás
4. Az önálló munka
Az ellenőrzés lehetséges módjai
Órai kisdolgozatok, amelyek az alapvető, rutinszerű ismeretek tudását ellenőrzik
A csoport közös munkájának értékelése valamilyen közösen elkészített produktum alapján
házi feladatok ellenőrzése
epochazárók, témazárók (mindkettő egy-egy nagyobb témakör befejezéseként írt dolgozat), az epocha ill. a téma tanulásakor fejlesztett képességek állapotáról ad képet, ellenőrzi a tanultakat és alkalmazásukat
Az értékelés formái
A csoportos, kooperatív és egyéni munkaformák alkalmazásával folyamatosan nyomon követjük a diákok munkáját.
Epocha közben kisebb pontszerző dolgozatokkal ellenőrizzük, hogy az elsajátítandó kompetenciákban, tananyagban hol tartanak. Ennek formája lehet egyéni vagy csoportos.
A házi feladatokat és a füzetet rendszeresen ellenőrizzük. Figyelemmel kísérjük együttműködésüket a csoportmunka során.
A szakaszok végén a témakörből epochazáró dolgozatot írnak.
Mindezek beszámításával százalékosan értékeljük a teljesítményt.
Szöveges értékelés
A diákok félévenként szöveges értékelést kapnak. Ebben tantárgyi teljesítményükről, közösségben való működésükről, a tantárgyhoz és a tanuláshoz való viszonyukról, képességeik fejlődéséről adunk tájékoztatást a szülőnek és a diáknak egyaránt.
(40 óra)
1. epocha – Kombinatorika, valószínűségszámítás, statisztika és gráfok
Fejlesztendő képességek
Kombinatorika és gráfelmélet
„Hányféleképpen lehetséges...?". Először az általános iskolában szerzett tapasztalatokat és ismereteket elevenítsük fel feladatokon keresztül. Végezzünk különböző összeszámolási feladatokat, lehetséges útvonalak, kockadobások, sorrendek összeszámolására. Később olyan problémákat oldunk meg, ahol valamilyen megkötés miatt nem az összes lehetőség képezi a megoldást (sorban állásnál fiúklányok felváltva, kockadobásnál az összeg páros stb.) Ezzel jól gyakoroljuk az eljárások tudatos megválasztását, és elkerüljük a mechanikus gondolkodást, miközben a kiindulásként használt általános képlet megértése és alkalmazási készsége is mélyül. Hozzunk példákat a geometria területéről, pl.: sokszögek átlóinak száma. Folyamatosan ösztönözzük a tanulókat, hogy az eredményeket a szemlélettel, a várakozással hasonlítsák össze!
Megismerkedünk a gráfelméleti alapfogalmaival, egyszerűbb példákat oldunk meg.
Statisztika
Konkrét gyakorlati alkalmazás során megtanuljuk az adatgyűjtés és feldolgozás módszerét. Pénzérmék és dobókockák sokszori feldobás során feljegyzett eredményei alapján készítsünk gyakorisági és relatív gyakorisági táblázatokat. Törekedjünk a kísérlet eredményeinek célszerű rögzítésére. Több csoportban különböző oldalszámú „dobókockákkal" kapott eredményeket hasonlítsunk össze. Tippeltessük meg, és kísérlettel vizsgáljuk meg, ha 3 vagy 4 érme feldobásakor a fejek ill. írások számának gyakoriságát, relatív gyakoriságát. Keressünk magyarázatot a kapott eredményre.
Gyűjtsünk és rendszerezzünk statisztikai adatokat, a csoportra vonatkozó témakörökben, pl.: születési hónap, tanulással töltött idő stb. Készítsünk ezekből táblázatokat, illetve grafikonokat. Gyűjtsenek és elemezzenek számukra érdekes témában grafikonokat.
2. epocha – Valószínűségszámítás
Ismert kombinatorika feladatokat oldjunk meg más szövegezéssel valószínűség számítási köntösben. Tegyünk fel olyan kérdéseket, melyekben az általunk megjelölt különféle kimenetelek összességükben a teljes eseményrendszert adják (pl. kockával A: prímet B: négyzetszámot C: hatost dobunk) – figyeljük meg a halmazok viszonyát és a valószínűségek összegét! A feladatok alapját képező kombinatorikai problémák szintje megegyezik a kombinatorikában korábban elért szinttel, így gyakoroltatja a kombinatorikai ismereteket. Játsszunk szerencsejátékokat, állapítsuk meg úgy a nyereséget, hogy nem azonos valószínűségek esetén is igazságos legyen a játék. Oldjunk meg célbalövéses feladatokat bármilyen, geometriai ismereteknek megfelelő formájú céltábla esetén.
„Mi a valószínűbb?": valószínűségi kísérletek. A lehetetlen és a biztos esemény. A kombinatorikus és a geometriai valószínűségi modellek konkrét példákban. (Pl: lottó, céltábla stb.)
Követelmény
A tanulók
tudjanak egyszerű kombinatorikus feladatokat megoldani, például néhány elem összes lehetséges sorrendjét megadni.
ismerjék a gráf fogalmát, tudjanak kapcsolatokat gráffal szemléltetni
legyenek képesek egyszerű kísérletek eredményeit lejegyezni, és ebből következtetéseket levonni
tudjanak gyakorisági és relatív gyakorisági táblázatot készíteni
tudjanak kombinatorikus módszerrel valószínűségszámítási problémákat megoldani
tudjon példát mondani lehetetlen és biztos eseményre
(6 epocha – 180 óra)
Ebben a korban fontos a diákok számára önmaguk és környezetük megismerése. Ilyenkor kezdődik a kételkedés, a mindent megkérdőjelezés, a felnőtt tekintély elvesztésének korszaka. Ezt jól ki lehet használni a matematika tanításában a bizonyítási igény felkeltésében. A bizonyítások fejlesztik a diákok logikus gondolkodását, és már képesek élvezni magát a bizonyítást is. Ez a korosztály igen fáradékony, türelmetlen, a gyakorlást unalmasnak tartja. Pedig az önállóan vagy segítséggel felfedezett eljárásokat, módszereket, tételeket, összefüggéseket főleg gyakorlással lehet megtanulni. Ezért is tartjuk nagyon fontosnak a különböző módon szervezett tanórákat, illetve egy-egy új ismeret többoldalú, többszempontú megközelítését. A kitűzött elméleti tananyaggal és feladatokkal az a célunk, hogy továbbfejlesszünk bizonyos gondolkodásbeli elemeket, ilyenek:
formális
logikus
dialektikus
problémamegoldó
konvergens
divergens
konstruktív
algoritmizáló
heurisztikus
intuitív
Továbbá fejlesszük a következő képességeket
modellalkotó
absztrakciós
szintetizáló
analizáló
diszkutáló
általánosító
összehasonlító
lényeglátó
lényegkiemelő
fogalomalkotó
összefüggéseket feltáró
következtető
kreativitás
Erősíteni szeretnénk a diákok
bizonyítási
kutatási
a szép és áttekinthető munka
az önellenőrzés
iránti igényét.
A matematika tanulása közben fejlődik a diákok más tantárgyban használt képessége: emlékező, önállóság, vitakészség, alaposság, eredetiség, tervszerűség, kritikai érzék, sík- és térszemlélet.
Követelmény
A tanulók
tudjanak dolgozni algebrai kifejezésekkel;
tudjanak megoldani egyszerűbb lineáris egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket;
legyen megfelelő tapasztalatuk a másodfokú egyenletek megoldásában;
jártasak legyenek a gyakorlat különböző területeire vonatkozó szöveges feladatok megértésében és megoldásában;
értsék a függvényvizsgálat szempontjait;
tudják gyakorlati kérdésekkel foglalkozó feladatokban használni a függvényvizsgálat eredményeit;
legyen tapasztalatuk a hasonlóság alkalmazásában (szerkesztések, adatok kiszámítása)
jártasak legyenek a számelméleti bizonyításokban,
értsék a statisztikai adathalmazok és a valószínűségi modell kapcsolatát.
Részei
1. Halmazok
2. Algebra I.
3. Függvények és a statisztika elemei, grafikonok
4. Geometria
5. Algebra II.
6. Számelmélet, hatványozás
1. epocha – Halmazok
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A fejezet átfogó képet ad a halmazokról. Nem általában foglalkozunk a halmazokkal, hanem a hozzájuk kapcsolódó ismeretek, mint egy vezérfonal mentén kalandozunk a matematika különféle területein. A számhalmazok felelevenítése kapcsán, természetes módon adódik alkalom a racionális számok körében végezhető műveletek áttekintésére, pontosítására, más szemszögből való megvilágítására. A ponthalmazok tárgyalása elvezet a nevezetes mértani helyek megismeréséhez, ezek szerkesztési feladatokban való alkalmazásához. A halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása előkészíti a grafikonok és függvények ismétlését.
A gyakorlatból vett szövegek alapján feleleveníthetjük és pontosíthatjuk a halmaz matematikai fogalmát. Foglalkozunk a jelölésekkel és a halmazok Venn-diagramon való ábrázolásával. Az elemek különböző típusú és szintű megadásával tudatosítjuk a tanulókban, hogy halmazt csak pontosan definiált tulajdonsággal vagy jól körülhatárolható fogalmakkal adhatunk meg. Különféle halmaz-megadások esetén vizsgáljuk, hogy adott dolgok elemei-e az adott halmaznak.
Az elemek rendezésével és számosságával kapcsolatos feladatokon keresztül a matematika különböző témaköreivel ismerkedhetünk (logikai, geometriai, kombinatorikai, számelméleti, algebrai, szöveges feladatok).
Intuitív módon értelmezzük két halmaz egyenlőségét, a részhalmaz fogalmát. Tudatosítjuk az alaphalmaz és az üres halmaz fogalmát.
Alkalmasan választott bevezető feladatokkal értelmezzük a metszet, a különbség és az unió fogalmát. A halmazműveletek értelmezését segíti a Venn-diagrammal való szemléltetés.
A tanulók pontosítsák, illetve egészítsék ki a négy alapművelettel kapcsolatos ismereteiket
Gyakorolják a zárójel és az abszolút érték jel használatát.
Sokféle és változatos feladat segítségével átismételjük az eddig tanultakat. Foglalkozunk a számok ellentettjével, abszolút értékével, a négy alapművelettel a racionális számok körében. Újból áttekintjük – először egész, majd törtszámok esetén – az előjeles számok összeadását, kivonását, szorzását, osztását. Feladatok segítségével megvilágítjuk az előjel és a műveleti jel jelentését, használatát. Külön foglalkozunk a 0-val végezhető négy alapművelet értelmével. Feladatok kapcsán a tanulók átismételhetik a zárójel jelentéséről és megfelelő használatáról, a műveleti sorrendről tanultakat.
A fejezetben a számolásos feladatokon kívül több életszerű szöveges feladattal is találkoznak, melyekben a százalékszámítással kapcsolatos ismereteiket gyakorolhatják.
Az "igaz-e" típusú állítások helyességének eldöntésénél egyszerű és összetett logikai ítéleteket (ha... akkor; minden; néhány; szükséges; és; vagy) használnak.
Követelmény
A tanulók
2. epocha – Algebra I.
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Egyszerűen megfogalmazott szöveges feladatokat fordítunk a matematika nyelvére. Ez motiválja a tanulókat az algebrai kifejezésekkel végezhető műveletek elsajátítására. Többek között a szöveges problémák megoldása is arra készteti a tanulókat, hogy minél több és hatékonyabb módszert sajátítsanak el az egyenletek, azonosságok, egyenlőtlenségek megoldására.
Egyszerű és változatos paramétereket tartalmazó szöveges feladatok kapcsán algebrai kifejezéseket írnak fel a tanulók. A paraméterek konkrét értékeivel ki is kell számítani az algebrai kifejezések értékét. Közülük néhányat grafikonon is ábrázolnak. Ezekkel a szöveges feladatokkal a problémák algebrai megfogalmazását gyakorolják.
Feladatok megoldásával ismételjük át a témához kapcsolódó fogalmakat (együttható, egynemű -, egytagú -, többtagú algebrai kifejezés). A tanár dolga, hogy ezeket pontosítsa, megfogalmazásukat matematikailag precízzé tegye.
Számításos feladatok segítségével átismételjük a műveleti sorrend és a zárójel jelentését, alkalmazását. Csak ezután érdemes áttérni az algebrai kifejezések összeadására, kivonására (összevonására), szorzására.
Az összeadást, kivonást, összevonást előzze meg a számokkal végzett megfelelő műveletek jelentésének, használatának megbeszélése, természetesen feladatok kapcsán. Ezután párhuzamosan végeztessünk számokat, illetve betűket tartalmazó kifejezésekkel összeadást, kivonást, összevonást. Ezután pontosítsuk és rögzítsük is a műveletek technikáját. Hangsúlyozzuk azt is, hogy így egyszerűbb alakot kapunk.
Szorzásnál először egytagúakat szorozzunk össze, használva, hogy a szorzás az összeadás rövidebb formája. Folytassuk egytagú és többtagú kifejezések szorzásával. Érdemes a kapott eredményt (illetve a folyamatot) területszámítás segítségével szemléltetni. Ezután térjünk rá a többtagúak szorzására. Ezt is szemléltessük területszámítással. Sokféle szempontból megfogalmazott feladatokkal gyakoroljuk a műveleteket.
Tapasztalatokat szerzünk a nevezetes azonosságokban is.
Nagyon egyszerű (például számkitalálós) szöveges feladatok megoldásával elérjük, hogy a tanulók szerezzenek tapasztalatot az azonosság (minden számra igaz) fogalmában. Megsejtik a szövegek és a probléma alapján, mi a különbség az azonosság és az egyenlet között. Nem kell a fogalmak pontos meghatározására törekedni, elég, ha csak sejtik, érzékelik a különbséget.
Egyszerűbb szöveges feladatokkal is gyakoroltatjuk az egyenletek megoldását. A feladatok változatosak, az életből vett problémákkal foglalkozunk.
Nagy figyelmet fordítunk a megoldások ellenőrzésére.
Követelmény
A tanulók
3. epocha – Függvények
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Változatosan meghatározott halmazok elemeit rendeljük egymáshoz. Főleg számhalmazokkal foglalkozunk. Mellettük nagyon jól lehet az életből vett halmazokat egymáshoz rendelni (pl. fiúk-lányok), ezekkel ugyanis jól lehet szemléltetni az egymáshozrendelés fogalmát. Ahhoz, hogy a tanulók elegendő tapasztalatot gyűjtsenek az egymáshozrendelés, az egyértelmű -, ill. kölcsönösen egyértelmű egymáshozrendelés fogalmában, sok és többféle szempontból megfogalmazott feladatra van szükség. A függvény fogalmának felelevenítése után foglalkozunk az értelmezési tartomány, értékkészlet jelentésének elmélyítésével, valamint a függvény megadásának módozataival. A képlettel megadott függvények adott helyen vett értékeinek kiszámítását egyrészt kapcsolni lehet az algebrai kifejezéseknél tanultakhoz, másrészt kialakítja a tanulókban a független- és függő változó fogalmát. A függvényfogalom elmélyítésével együtt nagy súlyt fektetünk a függvényekkel kapcsolatos jelölések ismétlésére és helyes használatára.
A függvény grafikonjának ábrázolását már több helyen előkészítettük (táblázatok, szöveges feladatok alapján készült grafikonok, halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása). A tanulók főleg a lineáris függvények ábrázolásában gyűjtsenek tapasztalatot, de célszerű más függvény grafikonjának a megrajzolása is. Foglalkozzunk az "összeköthetők-e a pontok" kérdésével, jussunk el a kételkedésig – nem baj, ha nyitva marad a probléma.
Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása átvezet a lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldásához. Az ilyen típusú feladatok megoldása azért is fontos, mert előkészíti a koordinátageometriai szemléletet.
Néhány nemlineáris függvényt is átismétlünk (abszolút érték, másodfokú, reciprok). Néhány összetett függvény grafikonját értéktáblázat segítségével ábrázoljuk. Az értéktáblázat készítésének mechanikus folyamata és a megsejtett törvényszerűségek motiválják a tanulókat az egyszerűbb ábrázolási technikák keresésére. Így jutunk el a függvénytranszformációhoz. Tapasztalatszerzés után eljutunk az f(x)+a; f(x+a); f(x+a)+b; -f(x); -f(x+a)+b szerkezetű függvények ábrázolási szabályához. A grafikonok megrajzolását motiválni lehet összetettebb, algebrai módszereinkkel még nem megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldásával. Ezek a feladatok alkalmasak az abszolút érték, a nevezetes azonosságok, algebrai átalakítások, a helyettesítési érték fogalmának gyakorlására.
Követelmény
A tanulók
4. epocha – Geometria
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Átismételjük a tanult egybevágósági transzformációkat, ezek tulajdonságait és a vektor fogalmát. Megismerjük a pont körüli forgatás fogalmát, adott alakzatok elforgatásával a diákok felfedezik a forgatás tulajdonságait. Ezeket összegezzük és hasonlítsuk össze a már ismert transzformációkkal, állapítsuk meg a pont körüli forgatás és középpontos tükrözés kapcsolatát. Vizsgáljuk adott alakzat képét két derékszöget, majd tetszőleges szöget bezáró tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja esetén, vonjuk le a tapasztalatokat. Keressünk forgásszimmetrikus alakzatokat a természetben és a mindennapi életben, írjuk le szimmetriájukat. Alkalmazzuk az elforgatást szerkesztési feladatokban.
A forgásszimmetria szemléletesen megalapozza a körrel kapcsolatos ismeretek tárgyalását.
A háromszögek csoportosítása után oldjunk meg szerkesztési feladatokat. Végezzünk számításos feladatokat a Pitagorasz-tétel alkalmazására (derékszögű háromszög oldalai, külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok, húrhossz számítása). Szerkesztési feladatokkal mélyítsük tovább a ponthalmazokról és transzformációkról eddig tanultakat, valamint végezzünk összetettebb számítási feladatokat a Pitagorasz-tétel és a területszámítás egyidejű alkalmazására. A négyszögekkel kapcsolatos ismeretek pontosítása, alkalmazása szerkesztésekben. A körrel kapcsolatos ismeretek. Kerületi és középponti szögek megismerése, alkalmazása. Thalész-tétel bizonyítása és alkalmazása.
A területszámítás után térbeli alakzatokat vizsgálva először a kocka és egyenes hasábok, majd az egyenes körhenger tulajdonságaival foglalkozunk. Érdemes vizsgálni ezek szimmetriáit a síkbeli analógiák alapján, így adva ízelítőt a térbeli egybevágósági transzformációkból. Foglalkozzunk a testek hálózatával, majd keressük meg a felszín és térfogat kiszámítási módjait, jól gyakorolva ezzel a síkalakzatoknál szerzett ismereteket. Az adatok megadásánál figyeljünk arra, hogy legyen szükség mértékegység-átváltásra, jól rögzítsük a terület- és térfogat mértékegységek váltószámait! Érdekességképpen a témát ókori problémák ismertetésével zárhatjuk (a négyzet oldala és átlója összemérhetetlen, a kocka térfogata szerkesztéssel nem megkettőzhető).
Követelmény
A tanulók
5. epocha – Algebra II.
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Az algebrai egész és törtkifejezésekkel végzett műveleteket gyakoroljuk. Mindenféle lineáris, vagy átalakítással lineárissá tehető egyenlettel, egyenlőtlenséggel foglalkozunk. Változatos, a gyakorlathoz kapcsolódó szöveges feladatokat oldunk meg. Az algebrai kifejezések értékének kiszámítása is alkalmas a racionális számokkal végzett négy alapművelet ismétlésére.
Az algebrai kifejezések összevonásának, szorzásának ismétlése után továbblépünk az egytagúak osztására, ügyelve a 0 szerepére.
Több oldalról közelítjük a nevezetes azonosságokat. A megszerzett tapasztalatokat pontosítjuk, rendszerezzük. Gyakoroltatjuk algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozásával, egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során.
Egyenlőségeket vizsgálunk abból a szempontból, hogy a bennük szereplő paraméter minden értékére igaz, vagy vannak olyan értékek, amelyekre nem igaz, illetve sohasem igaz. Az egyenlőségek között főleg olyanok szerepelnek, amelyeknek egyik oldalán algebrai kifejezések szorzata, a másik oldalon pedig a kifejtett szorzat szerepel. Így a tanulók újból találkoznak az egyszerűbb nevezetes szorzatokkal, illetve tapasztalatot szereznek a kiemelésben. Algebrai kifejezések szorzattá alakítását motiválni lehet az algebrai törtek összevonására, bonyolultabb algebrai kifejezések egyszerűbbé tételére vonatkozó feladatokkal, illetve olyan egyenletek megoldásával, amelyek egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehetők. Ezen egyenletek megoldása jól látható értelmet ad az ellenőrzésnek.
Változatos elsőfokú vagy egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehető egyenleteket oldunk meg. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor a tanulók gyakorolják az algebrai kifejezések összevonását, szorzását, szorzattá alakítását. Megoldunk a nevezőben számokat tartalmazó egyenleteket és egyenlőtlenségeket. Tapasztalatokat gyűjtünk olyan egyenletek megoldásában, amelyeknek a nevezőjében is szerepel az ismeretlen.
A szöveges feladatok megoldásához felhasználjuk az eddig tanult eljárásokat. Egyszerű keveréses, helyiértékes és munkavégzéses feladatokat oldunk meg.
A szorzattá alakítás segítségével egyszerű másodfokú egyenleteket is megoldunk.
Követelmény
A tanulók
6. epocha – Számelmélet, hatványozás
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Egyszerű szöveges feladatok, illetve a törtek egyszerűsítése kínál lehetőséget arra, hogy a közös osztó, közös többszörös fogalmát sok tapasztalattal vezessük be. Ezek után kiválasztjuk az l.n.k.o.- t, l.k.k.t. - t. Meghatározásukhoz használjuk a törzstényezős felbontást. A tanulók megérzik, illetve tudatosan megtalálják a helyes módszert, csak a tisztázásban kell segítenünk. Speciális eset az (a,b) = 1, azaz itt vezessük be a relatív prímek fogalmát, és figyeljük meg ebben az esetben [a,b] - t is! Keressük meg több szám l.n.k.o. ill. l.k.k.t. - jét is számpéldákban, illetve érdekes szöveges feladatokban. Keressünk adott (a,b) és a, illetve [a,b] és a esetén megfelelő b - t! Figyeljünk ezeknél a feladatoknál a logikailag helyes fogalmazásra!
A tanulók korábbi ismeretei lehetővé teszik, hogy a témát eddigi ismereteikre alapozó érdekes problémákkal vezessük be, ezzel ismételve és mélyítve a már megszerzett ismereteket. Osztályozzuk új szempontból az összetett számokat: foglalkozzunk a négyzet- és köbszámok, negyedik hatványok speciális tulajdonságaival, prímtényezős felbontásukkal. Érdekességként foglalkozzunk az ikerprímekkel, tökéletes és barátságos számokkal, pitagoraszi számhármasokkal, történeti vonatkozásokkal.
Elevenítsük fel a prímtényezős felbontás alapján megoldható feladatokat, (a,b) és [a,b] fogalmát, ismerjük fel és értelmezzük az (a,b)×[a,b]=a×b összefüggést.
Az új ismereteket a maradékosztályok megalkotására vezető szöveges feladatokkal kezdjük, és ábrázoljuk a maradékosztályokat Venn-diagramon. Vizsgáljuk a számok összegére, különbségére, szorzatára vonatkozó oszthatósági szabályokat sok tapasztalatszerzéssel, és indokoljuk tapasztalatainkat a maradékosztályok segítségével – ez jól alkalmaz algebrai ismereteket is. Ehhez a témakörhöz tartozik a korábban tanult oszthatósági szabályok mélyebb megértése, amely ugyanakkor jól előkészíti a számrendszerekkel történő általánosabb foglalkozást. Foglalkozzunk számok át- és visszaírásával 2-es, 5-ös, 6-os, 12-es, 16-os számrendszerbe, figyeljük meg az érdekességeket és ezek kapcsán világítsuk meg az egyes számrendszerek hasznosságát a számítástechnikában és a matematika történetében, tekintsük át a számírás érdekességeit, mutassuk meg a 0 és a helyiérték szerepét.
Fogalmazzuk meg a számelmélet alaptételét, hangsúlyozva és megértve annak nem triviális voltát.
Ismételjük át a hatványozásról tanultakat. Elevenítsük fel a hatványozás azonosságait összetettebb feladatok megoldásával is. Alkalmas, a tanulók érdeklődéséhez közel álló feladattal érdemes bevezetni a 0 és negatív egész kitevőjű hatványok jelentését. Egyszerű feladatokkal tapasztalatot lehet szerezni a műveleti azonosságokban. Alkalmasan választott, más tudományból vett olvasmányokkal motiválhatjuk a tanulókat a számok normálalakjának elsajátítására és használatára. Gazdasági jellegű feladatokkal a normálalakkal végzett műveletek jól gyakoroltathatók.
Követelmény
A tanulók
(5 epocha – 150 óra)
Folytatjuk az eddig is fontosnak tartott képességek fejlesztését. Ebben az életkorban a diákok a gyakorlati élet felé fordulnak. Fontossá válik számukra, hogy az amit elméletben megtanulnak, hogyan alkalmazható a gyakorlatban.
Törekedni kell arra, hogy az eddigiekben gyakorolt képességek stabilizálódjanak, illetve magasabb szintre emelkedve továbbfejlődjenek. A következő két év tananyaga erősen épít az megszerzett ismeretekre, képességekre, készségekre. Kiemelten kell kezelni az ok-okozati viszonyok észlelését az analitikus gondolkodás és diszkusszió fejlesztését. A matematikai logika szakszavait sok gyakorlással kell beépíteni a gondolkodásukba. Erősíteni kell a bizonyítási igényt, a probléma feltáró és megoldó képességet. Ebben az életkorban már képesek a diákok a valóságot modellezni, a modell segítségével a problémát megoldani, majd az eredményt a valóságra alkalmazni. Ki kell használni a tanítás során azokat a lehetőségeket, probléma-helyzeteket, amelyekben a tanulók gyakorolhatják a felelősségvállalás, a döntés, az előítélet-mentes gondolkodás, mások iránti tisztelet, a tolerancia, az együttműködés, az empátia, az önálló véleményalkotás képességét.
Ebben az évben a tanulók megválasztják további tanulmányaik irányultságát is. Differenciált tanulással a választás könnyíthető.
Törekszünk arra, hogy a tanítás-tanulás folyamata
1. erősítse meg a formális, logikus, dialektikus, problémamegoldó, konvergens, divergens, konstruktív, algoritmizáló, heurisztikus, intuitív gondolkodásbeli elemeket;
2. fejlődjön a tanulók modellalkotó, absztrakciós, analizáló, szintetizáló, diszkutáló, általánosító, összehasonlító, lényeglátó, lényegkiemelő, fogalomalkotó, összefüggéseket feltáró, következtető képessége.
Erősödjön a tanulók bizonyítási, kutatási, a szép, pontos, áttekinthető munka, az önellenőrzés iránti igénye.
Fejlődjön a tanulók emlékezőképessége, önállósága, vitakészsége, alapossága, eredetisége, kezdeményezőkészsége, sík- és térszemlélete, tervszerűsége, kritikai érzéke.
Követelmény
A tanulók
Részei
1. Algebra I.
2. Geometria
3. Algebra II.
4. Sorozatok
5. Trigonometria
1. epocha – Algebra I.
Fejlesztendő képességek
Tananyag
Az eddig megszerzett ismeretekre alapozva tovább építjük az algebrát.
Két vagy több szám legkisebb közös többszörösének keresése átvezet két vagy több algebrai kifejezés legkisebb közös többszörösének felírásához. Tudatosítani kell az algebrai kifejezések szorzattá alakításának jelentőségét. A bonyolultabb algebrai törtek összevonása, egyszerűsítése, szorzása és osztása szükségessé teszi egyrészt a kiemelés és az eddig megismert nevezetes azonosságok felelevenítését, másrészt a köbös, illetve negyedik hatványok különbségére vonatkozó szorzattá alakítás megismerését. A törtes egyenletek megoldásakor szerzett ismereteket felhasználva lehet az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek megoldásait pontosítani. Változatos egyenletek megoldásával lehet az ismereteket elmélyíteni.
Az egyenlőtlenségek megoldásában a tanulóknak már elég sok tapasztalatuk van. Ezeket az ismereteket kell rendszerezni. Az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek megoldását a számláló és a nevező előjelvizsgálatával célszerű végezni, és érdemes rámutatni arra, hogy a módszer több tényező esetére is általánosítható. Természetesen érdemes megmutatni a beszorzásos módszert is annak nehézségeivel együtt. A jobb képességű tanulókkal paraméteres feladatokat is érdemes megoldani.
Az egyenletrendszer fogalmának kialakítását, megértését, tisztázását segítik azok a feladatok, amelyek megoldásakor több feltételt kell figyelembe venni. Ilyenek a megoldáshalmazok derékszögű koordináta-rendszerben való ábrázolására vezető kétismeretlenes egyenletek; az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek; egyszerű diofantikus egyenletek; két függvénygrafikon metszéspontjának algebrai úton való keresése. Ilyen előkészítés után a tanulóknak természetesek lesznek a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldási módszerei, melyeket alkalmasan választott egyenletrendszerek megoldása közben a tanulók maguk fedeznek fel. Külön hangsúlyt fektessünk a megoldhatóság feltételeire, a megoldások számára és az ellenőrzésre!
A szorzattá alakítási lehetőségek ismétlésekor mód nyílik másodfokú egyenletek megoldására. Alkalmasan választott együtthatók esetén észrevehető, hogy a teljes négyzetként felírt alak két elsőfokú tényező szorzatává alakítható, és így az egyenlet megoldható. A másodfokú egyenletek algebrai és grafikus megoldásával gyakorolni lehet a szorzattá alakítást. A megoldások keresése fontossá teszi a négyzetgyök fogalmának tisztázását.
Változatos tartalmú szöveges feladatokat oldunk meg. A megoldáshoz szükség van az eddig tanult egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek alkalmazására. Foglalkozunk gazdasági jellegű, alapvető pénzügyi ismereteket is nyújtó, illetve igénylő (kamat, adó, deviza, vám), számjegyes, munkavégzéses, keveréses, mozgásos, arányos feladatokkal. Gondot fordítunk a szöveg értelmezésére, a lényeg megragadására. A kreatív gondolkodást segítik a túl sok vagy túl kevés adattal megfogalmazott problémák.
Követelmény
A tanulók
2. epocha – Geometria
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A középpontos hasonlóságot a vetítés, dia, árnyék stb. segítségével szemléletesen vezessük be, szerkesszük meg egyszerűbb alakzatok (pont, szakasz, egyenes, sokszög, kör) középpontosan hasonló képét, sejtsük meg és foglaljuk össze a középpontos hasonlóság tulajdonságait, vessük össze az egybevágósági transzformációkkal. Szerkesszük meg alakzatok képét, ha adott a hasonlóság középpontja, valamint egy pont a képével együtt, illetve szerkesszük meg adott középpontosan hasonló alakzatokhoz a hasonlóság középpontját. Mutassunk gyakorlati példákat kicsinyítésre, nagyításra (tervrajz, makett, filmvetítés stb.)
A tapasztalatokat rendszerezi és indokolja a párhuzamos szelők tétele. A párhuzamos szelők tételét számítási és szerkesztési (szakasz adott arányú osztása) feladatokban is alkalmazzuk. A középpontos hasonlóság tulajdonságait vizsgálva eljutunk a hasonlóság fogalmához. Foglalkozunk a háromszögek hasonlóságának alapeseteivel. Fontos, hogy a tanulók nem párhuzamos állású háromszögeknél is magabiztosan megtalálják a megfelelő oldalpárokat, hogy ezzel előkészítsük a magasság- és befogótételt, valamint a szögfüggvények bevezetését. A magasság- és befogótételt a diákok a megfelelő aránypárok felírásával maguk fedezik fel. Foglalkozzunk különféle síkidomok esetén a hasonlóság elégséges feltételeivel, szabályos síkidomok hasonlóságával. Vizsgáljuk a trapéz tulajdonságait a hasonlóság alapján! Oldjunk meg "életszerű" feladatokat (térkép, alaprajz alapján hosszúságok, területek számítása (külön emlékezzünk meg a területek arányáról általában, az erre vonatkozó tényt a tanulók a konkrét feladatokban tapasztalják, ez megkönnyíti az általánosítást). Ismert feladatok segítségével számíthatjuk tereptárgyak magasságát, ilyen számításokat akár a gyakorlatban is elvégezhetünk.
Követelmény
3. epocha – Algebra II.
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A másodfokú függvényekből kiindulva felelevenítjük a teljes négyzetté kiegészítés módszerét. Elegendő tapasztalatszerzés után kerül sor az általános alakban adott másodfokú egyenlet megoldására olyan formán, hogy az egyenlet végigszámolása előtt a megoldási utat egy adott másodfokú egyenleten végiggondoljuk. Az általános megoldás elvezet a megoldóképlethez. Fokozatosan nehezedő, összetettebb egyenleteket oldunk meg. Mutassuk meg, hogy a megoldóképlet egyszerűbbé teszi az egyenletek megoldását, bár alkalmazása nélkül is el lehetne jutni a megoldásokhoz.
Feltétlenül kísérje az egyenletek algebrai megoldását a grafikus mód is. Tapasztalatokat kell szerezni a másodfokú függvény grafikonja, a másodfokú algebrai kifejezés értékeinek változása és a másodfokú egyenlet megoldásainak kapcsolatában. Így válik láthatóvá a megoldások számának jelentése, illetve a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása.
Megfogalmazzuk a gyökök száma és diszkrimináns kapcsolatát, tapasztalat alapján megfigyeljük a gyökök és együtthatók közötti összefüggést.
Figyelmet fordítunk a megoldások ellenőrzésére.
Változatos tartalmú szöveges feladatokat oldunk meg. A megoldáshoz szükség van az eddig tanult egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek alkalmazására. Szintetizáljuk a másodfokú függvények, algebrai kifejezések és egyenletek megoldása kapcsán megszerzett tudást.
A gyöktényezős alak segítségével megsejtjük a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, és alkalmazzuk egyszerűbb feladatokban. A gyöktényezős alakot használjuk algebrai törtek egyszerűsítésénél, illetve lyukas függvénygrafikonok ábrázolásánál.
A törtek vizsgálatával pontos definíciót alkotnak a tanulók a racionális szám fogalmáról, a racionális számok különböző alakjairól. Innen jutunk el az irracionális szám fogalmáig. Foglalkozunk irracionális számok keresésével. A négyzetgyök 2-ről be is bizonyítjuk, hogy irracionális. Ennek kapcsán ismerkednek az indirekt bizonyítási módszerrel. Beszélgetünk a racionális és irracionális számok számosságáról. Ennek kapcsán átismételjük a halmazok számosságára vonatkozó eddigi ismereteket. Tapasztalatokat gyűjtünk az irracionális számokkal végzett alapműveletekben is. Foglalkozunk egyszerűbb négyzetgyökös függvények ábrázolásával, grafikonjuk vizsgálatával.
Több, alkalmasan összeállított feladatsor elvégzése után a tanulók felfedezik, hogyan lehet négyzetgyökös kifejezéseket összevonni, szorozni, osztani, hatványozni. Változatosan megfogalmazott feladatok, több szempontból vizsgált gyökös kifejezések alkalmasak a műveleti azonosságok, a gyökjel alól való kivitel, illetve a gyökjel alá való bevitel gyakorlására, pontosítására, általánosítására. A „felfedezés" élménye után el kell mélyíteni a megszerzett ismereteket. A gyöktelenítés szükségességére bonyolultabb kifejezésekkel végzett műveletek segítségével lehet felhívni a figyelmet.
Az irracionális kifejezésekkel végzett műveleteknél megtanult ismereteket alkalmazzuk az irracionális egyenletek megoldásában. Elengedhetetlen a gyökök ellenőrzése, de fontosnak tartjuk annak megkeresését is, hogy melyik lépésnél keletkezett a hamis gyök. Így tapasztalatot gyűjtenek az egyenletek ekvivalenciájának kérdéskörében is.
Követelmény
A tanulók
4. epocha – Sorozatok
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A tanulók eddigi tanulmányaikban már találkoztak számsorozatokkal (halmazoknál, kombinatorikában, számelméletben, függvényeknél stb.), de eddig nem a sorozat maga, hanem inkább elemeinek halmaza képezte a vizsgálódás tárgyát. A sorozat fogalmát egyszerű dal kottaolvasásával vezetjük be, ezzel világítva rá az elemek sorrendjének jelentőségére. A tapasztalatokból kialakul a számsorozat általános fogalma. Több feladat foglalkozik a "tagja-e az adott sorozatnak; ha igen hányadik" kérdéskörrel. Foglalkozunk a számsorozatok megadási módjaival – különös tekintettel a képlettel és a rekurzívan megadott sorozatokra. Felhívjuk a figyelmet a számsorozat és a függvények kapcsolatára. Egyszerűbb sorozatok vizsgálatával is foglalkozunk a tagok száma, monotonitás, korlátosság szempontjából.
A számtani és mértani sorozatokat párhuzamosan vizsgáljuk. Foglalkozunk numerikusan és különböző paraméterek segítségével megadott számtani és mértani sorozatok különböző elemeinek a meghatározásával. Elmélyítjük az adott sorozathoz való tartozás fogalmát. A tanulók maguk fedezik fel, és egyszerűbb szöveges feladatokban alkalmazzák az n-edik elem kiszámítására vonatkozó összefüggést. Pl. az életkereset kiszámítására vonatkozó feladattal motiválni lehet a számtani sorozat összegének kiszámítására vonatkozó összefüggés megkeresését. Fontos, hogy számtani sorozat esetén a tanulók a tagok számtani közepének felhasználásával, illetve a szokásos gondolatmenettel is eljussanak az összegképlethez, illetve hogy mindkét indoklás aktívan éljen bennük, és a feladatmegoldásban a célszerűbb gondolatmenetet kövessék. A mértani sorozat összegképletének bizonyításával is foglalkozzanak a tanulók. Numerikus és szöveges feladatok megoldásával gyakoroljuk és elmélyítjük az ismereteket.
A számtani és mértani közép fogalmát már ismerik a tanulók. Ebben a részben lehetőség nyílik más szempontú megközelítésükre, az adott sorozatban betöltött speciális szerepük miatt hatékony alkalmazásukra, gyakorlásukra.
A szöveges feladatok alkalmasak a számtani, mértani sorozatokkal kapcsolatos fogalmak, összefüggések gyakorlására. A pénzügyi, gazdasági, biztosítási problémákkal foglalkozó feladatok megoldásához új fogalmakat kell megtanulni. Ilyenek: a kamatos kamatszámítás, diszkontálás, járadékszámítás (életjáradék), életkereset stb.
Követelmény
A tanulók
5. epocha – Trigonometria
Fejlesztendő képességek
Tananyag
A témát a vektorműveletek ismétlésével, és egyúttal az ismeretek mélyítésével kezdjük. Az összeadás megfordításaként vektorok adott irányú összetevőkre való bontásával foglalkozunk, megállapítjuk az egyértelmű vektorfelbontás tényét. A vektorok koordináta-rendszerben való ábrázolásához szükségünk van a koordináta-rendszer árnyaltabb felfogására – bevezetjük a bázisvektor és a helyvektor fogalmát. Műveleteket végzünk most már koordinátákkal adott vektorokkal, az egyértelmű vektorfelbontást felhasználva. Megkeressük a vektor hosszát megadó összefüggést, bevezetjük az egységvektor fogalmát.
Egységvektort forgatva a koordináta-rendszer középpontja körül, a végpont koordinátáit vizsgálva jutunk el sina és cosa definíciójához, illetve az x®sinx, x®cosx függvényhez. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó függvényértékeket Pitagorasz-tétellel! A hasonlóság alkalmazásával vizsgáljuk sina és cosa jelentését hegyesszögű háromszögben. Mutassuk meg az egységvektor megfelelő transzformációja segítségével a különböző síknegyedekbe mutató egységvektorok és első negyedbeli megfelelőjük kapcsolatát, a diákok önálló tapasztalataira alapozva. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó értékeket, az első síknegyed alapján valamennyi síknegyedre. Vizsgáljuk a teljes szögnél nagyobb és negatív forgásszögekhez tartozó értékeket is. Táblázat segítségével határozzuk meg a különböző szögekhez tartozó értékeket, illetve adott értékhez az összes lehetséges megoldást. Fentiek gyakorlására egészen egyszerű trigonometrikus egyenleteket is megoldhatunk, illetve egyszerűbb azonosságokat bizonyíthatunk.
Rátérve a derékszögű háromszögre mélyítsük el annak felismerését, hogy az itt használt szögfüggvény-fogalom a derékszögű háromszög hegyesszögei esetén ekvivalens a definícióval, és alkalmas az ismeretlen adatok meghatározására. Sok feladattal gyakoroljuk az adatok ismeretében a helyes szögfüggvény kiválasztását, színesítve életszerű, távolság, mélység, magasság meghatározásáról szóló feladatokkal. Foglalkozzunk az általános háromszög oldalakat és közbezárt szöget tartalmazó területképletével, használjuk fel a szabályos n-szög területének meghatározásához. Számítsuk ki szabályos sokszögek területét az oldal ismeretében először konkrét értékekkel, majd paraméteresen is. Végezzünk felszín- és térfogatszámítási feladatokat is, felhasználva és elmélyítve a sík és egyenes, illetve két sík hajlásszögéről tanultakat, különös hangsúlyt fektetve a szemléletes ábrázolás technikájára, a síkmetszetek jelentőségére.
Követelmény
A tanulók
Értsék a bázisvektor fogalmát
Értsék a különbséget vektor és helyvektor között
Tudjanak koordinátákkal vektort ábrázolni illetve azok koordinátáit leolvasni
Legyenek tisztában a vektor hosszának kiszámításával
Ismerjék a szögfüggvények definícióját az egységsugarú körben
Tudják ábrázolni a szögfüggvények grafikonját
Ismerjék a szög és pótszöge, szög és kiegészítő szöge, illetve x és -x szögfüggvényeinek valamennyi összefüggését, a különböző síknegyedekbe eső szögek szögfüggvényeinek előjelét, illetve a hozzájuk tartozó értékek kapcsolatát, ezek alapján tudják meghatározni sinx, cosx, tgx, ctgx ismeretében x összes értékét.
Ismerjék a nevezetes szögekhez tartozó szögfüggvények értékeit elemi geometriai bizonyítással együtt
Legyenek képesek megoldani egyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, illetve bizonyítani egyszerűbb azonosságokat
Tudják kiszámítani a derékszögű háromszög ismeretlen adatait az azt egyértelműen meghatározó adatok közül bármelyik kettő ismeretében
Tudják kiszámítani tetszőleges háromszög területét két oldalának és közbezárt szögének ismeretében, ismerjék a képlet indoklását
Tudják kiszámítani a szabályos sokszög területét oldalának, vagy a köréírható kör sugarának ismeretében
Tudják kiszámítani testek felszínét és térfogatát; lapok, élek, lapok és élek hajlásszögét
Megegyezik a hétosztályos matematika programmal, meghirdetése, céljai, értékelése és szervezése hasonló módon történik, amennyiben megoldható az emelt és középszintet szintenként közösen szervezzük meg. A tantárgyi programnak ez a része a hétosztályos programban található, terjedelem takarékossági okok miatt nem ismételjük meg.