Matematika 10. osztály 140 óra
Cél
A tanítás - tanulás folyamata
1. erősítse meg a formális, logikus, dialektikus, problémamegoldó, konvergens, divergens, konstruktív, algoritmizáló, heurisztikus, intuitív gondolkodásbeli elemeket;
2. fejlődjön a tanulók modellalkotó, absztrakciós, analizáló, szintetizáló, diszkutáló, általánosító, összehasonlító, lényeglátó, lényegkiemelő, fogalomalkotó, összefüggéseket feltáró, következtető képessége.
Erősödjön a tanulók bizonyítási, kutatási, a szép, pontos, áttekinthető munka, az önellenőrzés iránti igénye.
Fejlődjön a tanulók emlékezőképessége, önállósága, vitakészsége, alapossága, eredetisége, kezdeményezőkészsége, sík - és térszemlélete, tervszerűsége, kritikai érzéke.
Törekedni kell arra, hogy a tanulók a négy éves munka során szerzett tapasztalataikat, készségeiket, képességeiket a matematikát tudatosan alkalmazva használhassák - minél több valóságos, gyakorlati probléma felvetésével.
Követelmény
A tanulók
- jól tudjanak dolgozni algebrai kifejezésekkel;
- készség szintjén oldjanak meg lineáris egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket;
- legyen megfelelő tapasztalatuk a másodfokú egyenletek megoldásában;
- jártasak legyenek a gyakorlat különböző területeire vonatkozó szöveges feladatok megoldásában;
- jól értsék a függvényvizsgálat szempontjait;
- jól tudják használni a függvényvizsgálat eredményeit;
- jól ismerjék a hasonlósági transzformációt;
- legyen tapasztalatuk a hasonlóság alkalmazásában (szerkesztések, adatok kiszámítása)
- ismerjék a térelemekkel kapcsolatos fogalmakat, definíciókat;
- legyen tapasztalatuk a testek származtatásában, hálózatuk elkészítésében;
- ismerjék néhány test felszínének és térfogatának kiszámítási módját;
- jártasak legyenek a számelméleti bizonyításokban,
- ismerjék a szögfüggvények fogalmát,
legyenek képesek meghatározni bármely szög bármely szögfüggvényét, illetve adott értékhez a megfelelő szögeket,
- tudják felrajzolni a szögfüggvények grafikonját és ismerjék kapcsolatukat,
- alkalmazzák a trigonometrikus összefüggéseket derékszögű háromszögek adatainak meghatározásában,
- ismerjék a Pascal - háromszög és a binomiális együtthatók kapcsolatát és a binomiális tételt,
- magabiztosan oldjanak meg kiválasztási feladatokat, és alkalmazzák azokat valószínűségszámítási problémákban.
Részei
Kombinatorika és valószínűségszámítás
Algebra
30 óra
Alakuljon ki a tanulók gondolkodásában, fogalmi rendszerében a valós szám, az irracionális szám fogalma. Legyen kellő ismeretük a valós számkör felépítésében.
Alakuljon ki a tanulókban a bizonyítási igény annak eldöntéséhez, hogy valamely szám melyik számhalmazba tartozik.
A tanulók értsék és használni is tudják az indirekt bizonyítási módot.
Fejlődjön a tanulók absztrakciós, konstrukciós, algoritmizáló, problémamegoldó, döntéselőkészítő, döntéshozó képessége, ötletessége, találékonysága, rugalmas gondolkodása. A lehető legegyszerűbb megoldásra való törekvés fejleszti a céltudatosságot, a gazdaságosságra való törekvést.
Követelmény
A tanulók
- jól értsék a racionális és irracionális szám fogalmát;
- képesek legyenek irracionális számot előállítani;
- képesek legyenek kis segítséggel eldönteni illetve bebizonyítani valamely számról, hogy melyik számhalmazba tartozik;
- jól értsék az indirekt bizonyítási mód lényegét
- jól tudjanak négyzetgyökös kifejezéseket nagyság szerint sorba rendezni;
- jól ismerjék a négyzetgyökös kifejezésekkel végezhető műveleteket, azonosságokat;
- jól tudjanak bármilyen, életkoruknak és eddigi tanulmányaiknak megfelelő egyenletet, egyenlőtlenséget, egyenletrendszert megoldani.
Tananyag
A több éve tartó tanulás eredményeképpen befejeződik a valós számkör felépítése. Pontos fogalmat alkotnak a tanulók a racionális és irracionális számokról, összehasonlítják a két számhalmazt. Felfedezik, pontosítják, megtanulják, hogy az eddigi ismereteikre, tudásukra építve hogyan lehet a négyzetgyökös kifejezésekkel műveleteket végezni, egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket megoldani. Az algebrában tanultak ismétlését is jelenti a valamilyen eljárással másodfokúra redukálható magasabb fokú, illetve másodfokúra vezető gyökös egyenletek megoldása.
Részei
Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel, a négyzetgyökvonás azonosságai
Másodfokú-, másodfokúra visszavezethető-, irracionális egyenletek és egyenletrendszerek
NAT
Név Változat
1.A) A bővülő számfogalom alkalmazása. MAT/ÁLT/7-10./1A
1.B) A bevezetett új műveletek... MAT/ÁLT/7-10./1B
1.C) Fejlődő függvényszemlélet. MAT/ÁLT/7-10./1C
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.F) Néhány lépéses algoritmusok... MAT/ÁLT/7-10./3F
4.A) Becslés, kerekítés, az eredmény... MAT/ÁLT/7-10/4A
4.B) Az ellenőrzés különböző módjainak... MAT/ÁLT/7-10./4B
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.F) Matematikai szöveg olvasása... MAT/ÁLT/7-10./4F
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
4.H) A matematika történeti fejlődése;... MAT/ÁLT/7-10./4H
Valós számok 6 óra
Cél
A valós számok fogalmának pontosítása
Ismerkedés az indirekt bizonyítási módszerrel
Követelmény
A tanulók pontosan értsék a racionális és az irracionális szám fogalmát
Legyenek jártasak irracionális számok keresésében és előállításában
Szerezzenek tapasztalatot az irracionális számokkal végzett alapműveletekben
Szerezzenek tapasztalatot az indirekt bizonyítási módban
Értsék a négyzetgyök kettő irracionalitására vonatkozó bizonyítást
Legyenek jártasak a gyökfüggvény ábrázolásában és vizsgálatában
Tananyag
A törtek vizsgálatával pontos definíciót alkotnak a tanulók a racionális szám fogalmáról, a racionális számok különböző alakjairól. Innen jutunk el az irracionális szám fogalmáig. Foglalkozunk irracionális számok keresésével. A négyzetgyök 2-ről be is bizonyítjuk, hogy irracionális. Beszélgetünk a racionális és irracionális számok számosságáról. Ennek kapcsán átismételjük a halmazok számosságára vonatkozó eddigi ismereteket. Tapasztalatokat gyűjtünk az irracionális számokkal végzett alapműveletekben is. Foglalkozunk egyszerűbb négyzetgyökös függvények ábrázolásával, grafikonjuk vizsgálatával.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
"Akkor és csak akkor"; tétel és... MAT/-10/1TK/2TÉ/1T
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Példák irracionális... MAT/-10/2TK/1TÉ/1T
A hatványozás azonosságai;... MAT/-10/2TK/2TÉ/1A
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Zárójelek felbontása összeadást,... MAT/-10/2TK/5TÉ/2F
Egyszerű esetekben szorzattá alakítás... MAT/-10/2TK/5TÉ/3F
Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel, a négyzetgyökvonás azonosságai 12 óra
Cél
A négyzetgyökös kifejezésekkel végezhető műveletek megismerése, megtanulása
Fontosnak tartjuk, hogy a tanulók a sokféle lehetőségből ki tudják választani az adott feladatnak megfelelő eljárást
Érezzék át annak örömét, hogy irracionális formában adott kifejezések racionálissá tehetők, az értékük pontosan meghatározható
Ismerkedés újabb fogalmakkal, kifejezésekkel - tartalmuk pontos megértése és megtanulása
Követelmény
A tanulók jól értsék, hogyan kell a négy alapműveletet elvégezni négyzetgyökös kifejezésekkel
Jól ismerjék a gyökös kifejezésekre vonatkozó műveleti azonosságokat
Legyenek járatosak többtagú gyökös kifejezések nagyságának összehasonlításában
Jól tudjanak kéttagú gyökös kifejezéseket négyzetre emelni, egy- és kéttagú nevezővel bíró törteket gyökteleníteni
Tananyag
Több, alkalmasan összeállított feladatsor elvégzése után a tanulók felfedezik, hogyan lehet négyzetgyökös kifejezéseket összevonni, szorozni, osztani, hatványozni. Változatosan megfogalmazott feladatok, több szempontból vizsgált gyökös kifejezések alkalmasak a műveleti azonosságok, a gyökjel alól való kivitel, illetve a gyökjel alá való bevitel gyakorlására, pontosítására, általánosítására. A „felfedezés” élménye után el kell mélyíteni a megszerzett ismereteket. A gyöktelenítés szükségességére bonyolultabb kifejezésekkel végzett műveletek segítségével lehet felhívni a figyelmet.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
"Akkor és csak akkor"; tétel és... MAT/-10/1TK/2TÉ/1T
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Példák irracionális... MAT/-10/2TK/1TÉ/1T
A hatványozás azonosságai;... MAT/-10/2TK/2TÉ/1A
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Zárójelek felbontása összeadást,... MAT/-10/2TK/5TÉ/2F
Egyszerű esetekben szorzattá alakítás... MAT/-10/2TK/5TÉ/3F
Másodfokú-, másodfokúra visszavezethető-, irracionális egyenletek és egyenletrendszerek 12 óra
Cél
A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos ismeretek elmélyítése, pontosítása, alkalmazhatóvá tétele
Tapasztalatszerzés az irracionális egyenletek megoldásában
Tudatosítani a gyökök ellenőrzésének fontosságát, megvilágítani a hamis gyökök megjelenésének okát, tapasztalatszerzés az egyenletek ekvivalenciájával, ekvivalens átalakításokkal kapcsolatban
Gyakorolni a célszerű munkát, a minél „gazdaságosabb” út keresését
Követelmény
A tanulók
- jól tudjanak bármilyen másodfokú egyenletet megoldani,
- jól ismerjék és alkalmazzák a diszkrimináns fogalmát,
- jártasak legyenek a gyökök és együtthatók közötti összefüggés és a gyöktényezős alak alkalmazásában,
- jártasak legyenek az irracionális egyenletek megoldásában,
- gyűjtsenek tapasztalatokat az új ismeretlen bevezetésében illetve a magasabb fokú egyenletek másodfokúvá való átfogalmazásában,
- legyenek jártasak az egyszerűbb másodfokú és irracionális egyenletrendszerek megoldásában.
Tananyag
Pontosítjuk a másodfokú egyenletek megoldásakor felhasznált ismereteket, fogalmakat. Elmélyítjük a diszkrimináns fogalmát. A gyöktényezős alak segítségével bizonyítjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, és alkalmazzuk egyszerűbb feladatokban. A gyöktényezős alakot használjuk algebrai törtek egyszerűsítésénél, illetve lyukas függvénygrafikonok ábrázolásánál.
Az irracionális kifejezésekkel végzett műveleteknél megtanult ismereteket alkalmazzuk az irracionális egyenletek megoldásában. Elengedhetetlen a gyökök ellenőrzése, de fontosnak tartjuk annak megkeresését is, hogy melyik lépésnél keletkezett a hamis gyök. Így tapasztalatot gyűjtenek az egyenletek ekvivalenciájának kérdéskörében is.
Néhány egyszerűbb magasabb fokú egyenlet megoldásával megmutatható az új ismeretlen bevezetésének módszere, az egyenletrendszerek megoldásánál pedig minden eddigi ismeretet mélyíthetünk.
NAT
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Elsőfokú kétismeretlenes... MAT/-10/2TK/4TÉ/1T
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
A függvénnyel kapcsolatos... MAT/-10/3TK/1TÉ/1T
y=ax+b egyenlettel megadott egyenes. MAT/-10/3TK/2TÉ/1A
Kétismeretlenes elsőfokú... MAT/-10/3TK/2TÉ/4T
Sorozatok
30 óra
A tanulók eddigi matematikai tanulmányaik során többször találkoztak sorozatokkal. A fejezet célja, hogy rendszerezze, szintetizálja eddigi ismereteiket, illetve részletezve:
A tanulók
- legyenek tisztában a sorozat fogalmával,
- találják meg a sorozatok és a függvények közötti kapcsolatot, - tapasztalják meg a végtelen, a monotonitás, a korlátosság, a határérték fogalmát,
- találkozzanak a rekurzióval, és képesek legyenek használni sorozatok megadásában,
- érzékeljék a matematika és a gyakorlat kapcsolatát,
- fejlődjön a modellalkotó, konstruktív, bizonyítási összefüggéseket feltáró, következtető, analógiát kereső képességük.
Követelmény
A tanulók jól értsék és használni is tudják a sorozatokkal kapcsolatos új szakkifejezéseket, jól értsék a sorozatokhoz kapcsolódó bizonyítási eljárásokat, ezeket egyszerűbb feladatokban alkalmazni is tudják, jól alkalmazzák a számtani és mértani sorozatokra vonatkozó összefüggéseket, jól értsék a számtani és mértani közép fogalmát, a közöttük lévő összefüggést, legyenek képesek ennek alkalmazására egyszerűbb bizonyítási feladatokban
Részei
Sorozatok alkalmazása szöveges feladatokban
NAT
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.F) Néhány lépéses algoritmusok... MAT/ÁLT/7-10./3F
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.F) Matematikai szöveg olvasása... MAT/ÁLT/7-10./4F
[Sorozatok] MAT/-8/3TK/3TÉ
Sorozatok vizsgálata... MAT/-8/3TK/3TÉ/1T
Sorozat "... MAT/-8/3TK/3TÉ/2F
Néhány tagjával... MAT/-8/3TK/3TÉ/3F
[Definíció, bizonyítás] MAT/-10/1TK/1TÉ
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
Értelmező szótár,szaklexikon... MAT/-10/1TK/1TÉ/2F
Összefüggések, sejtések tudatos... MAT/-10/1TK/2TÉ/2F
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Számsorozatok 5 óra
Cél
A tanulók érzékeljék, hogy a sorozat fogalma nem új.
A feladatokban felvetett problémák segítsenek kialakítani a rekurzió, a végtelen, a monotonitás, a korlátosság, a határérték fogalmát.
A tanulók új szakkifejezésekkel találkozzanak.
Fejlődjön logikus, problémamegoldó és konstruktív gondolkodásuk, az összefüggéseket feltáró, következtető, analógiát kereső képességük
Követelmény
A tanulók jól értsék a sorozat, a tag, az index fogalmát és jelentését
Értsék a rekurzió fogalmát
Képesek legyenek képlettel, függvény - definícióval megadott sorozatok elemeinek meghatározására
Jól értsék a véges, ill. végtelen elemű sorozat fogalmát
Értsék a monotonitás, a korlátosság, a határérték fogalmát
Tananyag
A tanulók eddigi tanulmányaikban már találkoztak számsorozatokkal (halmazoknál, kombinatorikában, számelméletben, függvényeknél stb.), de eddig nem a sorozat maga, hanem inkább elemeinek halmaza képezte a vizsgálódás tárgyát. A sorozat fogalmát egyszerű dal kottaolvasásával vezetjük be, ezzel világítva rá az elemek sorrendjének jelentőségére. A tapasztalatokból kialakul a számsorozat általános fogalma. Több feladat foglalkozik a “tagja - e az adott sorozatnak; ha igen hányadik” kérdéskörrel. Foglalkozunk a számsorozatok megadási módjaival - különös tekintettel a képlettel és a rekurzívan megadott sorozatokra. Felhívjuk a figyelmet a számsorozat és a függvények kapcsolatára. Egyszerűbb sorozatok vizsgálatával is foglalkozunk a tagok száma, monotonitás, korlátosság szempontjából.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
Értelmező szótár,szaklexikon... MAT/-10/1TK/1TÉ/2F
[Jellegzetes gondolatmenetek] MAT/-10/1TK/2TÉ
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
A hatványozás azonosságai;... MAT/-10/2TK/2TÉ/1A
Számolás normálalakkal. MAT/-10/2TK/2TÉ/2A
A függvénnyel kapcsolatos... MAT/-10/3TK/1TÉ/1T
Számtani és mértani sorozatok 15 óra
Cél
A tanulók lássák, hogy a számtani és mértani sorozatokra vonatkozó ismeretek alkalmasak bizonyos gyakorlati problémák egyszerűbb megoldására.
Gyakorolják az algoritmizálást, a modellezést, az analógiás gondolkodást.
Követelmény
A tanulók jól értsék és helyesen alkalmazzák a számtani és mértani sorozat fogalmát
Jól értsék a sorozat tagjaira vonatkozó kiszámítási módokat
Készség szintjén tudják a sorozat bármely elemét egyszerűen és gyorsan meghatározni
Helyesen alkalmazzák az n - edik elem és az első n elem összegének kiszámítására vonatkozó összefüggéseket
Az egyszerűbb szöveges feladatok megoldásánál ismerjék fel, hogy melyik sorozatra vonatkozó összefüggést lehet alkalmazni
Jártasak legyenek a számtani és mértani közép alkalmazásában
Tananyag
A számtani és mértani sorozatokat párhuzamosan vizsgáljuk. Foglalkozunk numerikusan és különböző paraméterek segítségével megadott számtani és mértani sorozatok különböző elemeinek a meghatározásával. Elmélyítjük az adott sorozathoz való tartozás fogalmát. A tanulók maguk fedezik fel, és egyszerűbb szöveges feladatokban alkalmazzák az n - edik elem kiszámítására vonatkozó összefüggést.
Pl. az életkereset kiszámítására vonatkozó feladattal motiválni lehet a számtani sorozat összegének kiszámítására vonatkozó összefüggés megkeresését. Fontos, hogy számtani sorozat esetén a tanulók a tagok számtani közepének felhasználásával, illetve a szokásos gondolatmenettel is eljussanak az összegképlethez, illetve hogy mindkét indoklás aktívan éljen bennük, és a feladatmegoldásban a célszerűbb gondolatmenetet kövessék. A mértani sorozat összegképletének bizonyításával is foglalkozzanak a tanulók. Numerikus és szöveges feladatok megoldásával gyakoroljuk és elmélyítjük az ismereteket.
A számtani és mértani közép fogalmát már ismerik a tanulók. Ebben a részben lehetőség nyílik más szempontú megközelítésükre, az adott sorozatban betöltött speciális szerepük miatt hatékony alkalmazásukra, gyakorlásukra.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
Értelmező szótár,szaklexikon... MAT/-10/1TK/1TÉ/2F
[Jellegzetes gondolatmenetek] MAT/-10/1TK/2TÉ
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
A hatványozás azonosságai;... MAT/-10/2TK/2TÉ/1A
Számolás normálalakkal. MAT/-10/2TK/2TÉ/2A
A függvénnyel kapcsolatos... MAT/-10/3TK/1TÉ/1T
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
Sorozatok alkalmazása szöveges feladatokban 10 óra
Cél
Lássák a tanulók a matematika fel,
használhatóságát a gyakorlati életben.
A tanulók lényeglátó gondolkodásának, ötletességének fejlesztése.
Követelmény
A tanulók jól értsék a pénzügyi, gazdasági, biztosítással kapcsolatos fogalmakat
Legyenek jártasak a szöveges feladatok megoldásában
Helyesen alkalmazzák a sorozatokkal kapcsolatos összefüggéseket
Tananyag
A szöveges feladatok alkalmasak a számtani, mértani sorozatokkal kapcsolatos fogalmak, összefüggések gyakorlására. A pénzügyi, gazdasági, biztosítási problémákkal foglalkozó feladatok megoldásához új fogalmakat kell megtanulni. Ilyenek: a kamatos kamat - számítás, diszkontálás, járadékszámítás (életjáradék), életkereset stb.
A számtani, mértani közepekkel összehasonlítva feleleveníthetjük a már ismert statisztikai közepek (átlag, módusz, medián) fogalmát.
NAT
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
A zsebszámológép... MAT/-10/2TK/1TÉ/3M
A hatványozás azonosságai;... MAT/-10/2TK/2TÉ/1A
[Kamatszámítás] MAT/-10/2TK/3TÉ
Az elsőfokú egyenletek,... MAT/-10/2TK/4TÉ/3F
[Azonosságok] MAT/-10/2TK/5TÉ
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Kombinatorika és valószínűségszámítás
10 óra
Kiválasztási feladatok megoldása
A kombinatorika és halmazelmélet, kombinatorika és algebra kapcsolatának megmutatása - a binomiális tétel
Mintavételi eljárások bemutatása gazdasági környezetben
Matematikatörténeti kitekintés a Pascal - háromszög kapcsán
Bizonyítási igény felkeltése, bizonyítási készség fejlesztése a Pascal - háromszög tulajdonságai és a binomiális együtthatók kapcsolatának vizsgálatával
Követelmény
A tanulók értsék a kiválasztási feladatok megoldásának menetét, az n alatt a k szimbólum jelentését és használatát
Tudják felrajzolni a Pascal - háromszöget
Értsék a Pascal - háromszög felépülésének kombinatorikus magyarázatát
Értsék a Pascal - háromszög sorainak és a binomiális együtthatóknak a kapcsolatát, tudják használni összegek hatványának a kifejtésében
Tudják kombinatorikusan indokolni a Pascal - háromszög egy sorának összegére vonatkozó összefüggést, értsék a hatványhalmaz fogalmát
Tudjanak megoldani kiválasztási feladatokat illetve meghatározni adott részhalmaz kiválasztására vonatkozó valószínűségeket, értsék ennek felhasználhatóságát a gazdasági minták megválasztásában
Tananyag
Ismétlés nélküli variációs, illetve a két elem kiválasztására vonatkozó feladatok felelevenítésével készítsük elő a részhalmaz kiválasztására vonatkozó problémák végiggondolását! Sok konkrét feladat végiggondolása után jussunk el az "n alatt a k" formulához! Számítsuk ki 1, 2, 3, 4, 5 elemű halmazra az összes "n alatt a k" értékeket, értelmezzük a megfigyelt törvényszerűségeket! Ezen a ponton elmélyíthetjük az üres halmaz és komplementer halmaz fogalmát. Fejtsük ki a kéttagú kifejezések n - edik hatványait a fenti n - ekre, és gondolkozzunk el az egyezés okain, majd a Pascal - háromszöget felírva folytassuk a binomiális együtthatók tulajdonságainak vizsgálatát, a kiválasztási problémával való kapcsolatát! Figyeljük meg a Pascal - háromszög egy sorának összegét, indokoljuk a megfigyelt törvényszerűséget! Ha a tanulók jól értik az összefüggést, kiválasztási feladatoknál maguk választhatnak, hogy képzési szabályával, vagy a Pascal - háromszöggel dolgoznak, illetve hogy algebrai vagy kiválasztási gondolatmenettel indokolják a felismert törvényszerűségeket.
Jól gyakoroltatja a kiválasztási feladatokat, és egyúttal a valószínűségszámítással is megteremti a kapcsolatot a különböző Lottó - típusú játékok esélyeinek összehasonlítása. Ez egyúttal előkészíti a mintavételi feladatok megoldását.
Értékelés A fejezet végén témazáró dolgozatot írnak a tanulók. Az órákon nagy súlyt fektetünk az önálló munkára és ennek értékelésére. A házi feladatokat egyénileg vagy csoportosan beszéljük meg. Differenciáltan foglalkozunk a jó képességűekkel. Több gyakorló feladatot, és ezzel több egyéni foglalkozást kapjanak a lemaradók.
NAT
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.D) Egyszerű esetekben a valószínűség... MAT/ÁLT/7-10./2D
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,... MAT/ÁLT/7-10./3D
3.E) Szemléltető ábrák és modellek... MAT/ÁLT/7-10./3E
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
Trigonometria
40 óra
A tanulók
- megismerik a vektorok koordinátáit;
- felfedezik a szögfüggvényeket az egységvektor forgatásával;
- megtanulják a szögfüggvények grafikonjának ábrázolását és tulajdonságait;
- változatos feladatokban alkalmazzák a szögfüggvényeket;
- új típusú egyenletekkel ismerkednek.
Törekedni kell arra, hogy
- lássák a matematika és a valóság kapcsolatát;
- fejlődjön találékonyságuk, ötletességük, problémahelyzetben tervszerűen, a helyes stratégia kiválasztásával járjanak el.
Követelmény
A tanulók
- jól értsék és alkalmazni is tudják a vektorokat, műveleteiket, koordináta - rendszerbeli ábrázolásukat;
- jól ismerjék a szögfüggvények definícióját, grafikonjukat, vizsgálatukat;
- szerezzenek kellő tapasztalatokat derékszögű háromszögek adatainak kiszámításában;
- értsék, hogy a derékszögű háromszögben felfedezett összefüggések csupán alkalmazásai a szögfüggvények általánosabb fogalmának.
Tananyag
Foglalkozunk vektorokkal, műveleteikkel, koordinátáikkal. Az egységvektor forgatása szemlélteti a szögfüggvények fogalmát. A szögfüggvények definíciójának és a hasonlóság alkalmazásának segítségével összefüggéseket nyerünk a derékszögű háromszögben, illetve az ezekre felbontható alakzatokban. A kapott összefüggéseket alakzatok ismeretlen adatainak meghatározásában alkalmazzuk.
Részei
Vektorok a koordináta-rendszerben
Szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszögben
NAT
1.E) A sík- és térgeometriai fogalmak... MAT/ÁLT/7-10./1E
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.C) A szemléletesen kialakult geometriai MAT/ÁLT/7-10./2C
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
4.A) Becslés, kerekítés, az eredmény... MAT/ÁLT/7-10/4A
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.H) A matematika történeti fejlődése;... MAT/ÁLT/7-10./4H
Vektorok a koordináta-rendszerben 8 óra
Cél
Fejlődjenek a tanulók vektorokkal kapcsolatos ismeretei, fogalmai
Ismerjék meg a vektor összetevőkre való felbontását ás ennek egyik jelentős alkalmazását
Vegyék észre a vektorfelbontás és fizikai alkalmazásának kapcsolatát
Ismerjék meg a vektorok koordináta - rendszerben való ábrázolását
Lássák a vektor és a rendezett számpár kölcsönösen egyértelmű megfeleltethetőségét
Követelmény
A tanulók értsék a bázisvektor fogalmát
Értsék a különbséget vektor és helyvektor között
Tudjanak koordinátákkal vektort ábrázolni illetve azok koordinátáit leolvasni
Legyenek tisztában a vektor hosszának kiszámításával
Tananyag
A témát a vektorműveletek ismétlésével, és egyúttal az ismeretek mélyítésével kezdjük. Az összeadás megfordításaként vektorok adott irányú összetevőkre való bontásával foglalkozunk, megállapítjuk az egyértelmű vektorfelbontás tényét. A vektorok koordináta - rendszerben való ábrázolásához szükségünk van a koordináta - rendszer árnyaltabb felfogására - bevezetjük a bázisvektor és a helyvektor fogalmát. Műveleteket végzünk most már koordinátákkal adott vektorokkal, az egyértelmű vektorfelbontást felhasználva. Megkeressük a vektor hosszát megadó összefüggést, bevezetjük az egységvektor fogalmát.
NAT
Vektorok számmal való szorzása. MAT/-10/4TK/6TÉ/1T
Vektorfelbontás síkban. MAT/-10/4TK/6TÉ/2T
Vektorok számszorosának... MAT/-10/4TK/6TÉ/3F
Szögfüggvények 14 óra
Cél
Új fogalmak: sina, cosa, tga, ctga bevezetése, az a® sina stb. hozzárendelés, mint függvény értelmezése
A szögfüggvények tulajdonságainak felfedeztetése, felhasználva a tengelyes és középpontos tükrözés tulajdonságait
A trigonometrikus kifejezés értékének ismeretében a hozzátartozó szögek meghatározása, a végtelen sok elemű megoldás miatt a leíráshoz a számhalmazoknál tanultak felelevenítése
A két lényegesen különböző megoldás következetes megkeresésével a figyelemkoncentráció, önfegyelem, memória fejlesztése
Követelmény
Ismerjék a szögfüggvények definícióját az egységsugarú körben
Tudják ábrázolni a szögfüggvények grafikonját
Ismerjék a szög és pótszöge, szög és kiegészítő szöge, illetve x és -x szögfüggvényeinek valamennyi összefüggését, a különböző síknegyedekbe eső szögek szögfüggvényeinek előjelét, illetve a hozzájuk tartozó értékek kapcsolatát, ezek alapján tudják meghatározni sinx, cosx, tgx, ctgx ismeretében x összes értékét.
Ismerjék a nevezetes szögekhez tartozó szögfüggvények értékeit elemi geometriai bizonyítással együtt
Legyenek képesek megoldani egyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, illetve bizonyítani egyszerűbb azonosságokat
Tananyag
Egységvektort forgatva a koordináta - rendszer középpontja körül, a végpont koordinátáit vizsgálva jutunk el sina és cosa definíciójához, illetve az x®sinx, x®cosx függvényhez. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó függvényértékeket Pitagorasz - tétellel! A hasonlóság alkalmazásával vizsgáljuk sina és cosa jelentését hegyesszögű háromszögben. Mutassuk meg az egységvektor megfelelő transzformációja segítségével a különböző síknegyedekbe mutató egységvektorok és első negyedbeli megfelelőjük kapcsolatát, a diákok önálló tapasztalataira alapozva. Határozzuk meg a nevezetes szögekhez tartozó értékeket, az első síknegyed alapján valamennyi síknegyedre. Vizsgáljuk a teljes szögnél nagyobb és negatív forgásszögekhez tartozó értékeket is. Táblázat segítségével határozzuk meg a különböző szögekhez tartozó értékeket, illetve adott értékhez az összes lehetséges megoldást. Fentiek gyakorlására egészen egyszerű trigonometrikus egyenleteket is megoldhatunk, illetve egyszerűbb azonosságokat bizonyíthatunk.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
[Jellegzetes gondolatmenetek] MAT/-10/1TK/2TÉ
Összefüggések, sejtések tudatos... MAT/-10/1TK/2TÉ/2F
[Szögfüggvények] MAT/-10/3TK/3TÉ
Szögfüggvények (sin; cos; tg; ctg) MAT/-10/3TK/3TÉ/1T
A hegyesszögek szögfüggvényeinek... MAT/-10/3TK/3TÉ/2F
A forgásszögek fogalma MAT/-10/4TK/1TÉ
Szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszögben 18 óra
Cél
A tanulók fedezzék fel a szögfüggvények alkalmazási lehetőségét derékszögű háromszög ismeretlen adatainak meghatározásában
Fejlődjön céltudatosságuk az összetettebb feladatok megoldásánál
Tapasztalják a megoldási terv készítés szükségességét és hasznosságát
Fejlődjön geometriai szemléletük a térbeli feladatok ábrázolásán keresztül
Követelmény
Tudják kiszámítani a derékszögű háromszög ismeretlen adatait az azt egyértelműen meghatározó adatok közül bármelyik kettő ismeretében
Tudják kiszámítani tetszőleges háromszög területét két oldalának és közbezárt szögének ismeretében, ismerjék a képlet indoklását
Tudják kiszámítani a szabályos sokszög területét oldalának, vagy a köréírható kör sugarának ismeretében
Tudják kiszámítani testek felszínét és térfogatát; lapok, élek, lapok és élek hajlásszögét
Tananyag
Rátérve a derékszögű háromszögre mélyítsük el annak felismerését, hogy az itt használt szögfüggvény - fogalom a derékszögű háromszög hegyesszögei esetén ekvivalens a definícióval, és alkalmas az ismeretlen adatok meghatározására. Sok feladattal gyakoroljuk az adatok ismeretében a helyes szögfüggvény kiválasztását, színesítve életszerű, távolság, mélység, magasság meghatározásáról szóló feladatokkal. Foglalkozzunk az általános háromszög oldalakat és közbezárt szöget tartalmazó területképletével, használjuk fel a szabályos n - szög területének meghatározásához. Számítsuk ki szabályos sokszögek területét az oldal ismeretében először konkrét értékekkel, majd paraméteresen is. Végezzünk felszín - és térfogatszámítási feladatokat is, felhasználva és elmélyítve a sík és egyenes, illetve két sík hajlásszögéről tanultakat, különös hangsúlyt fektetve a szemléletes ábrázolás technikájára, a síkmetszetek jelentőségére.
NAT
A hegyesszögek szögfüggvényeinek... MAT/-10/3TK/3TÉ/2F
[Szögfüggvények alkalmazása] MAT/-10/4TK/7TÉ
A szögfüggvények alkalmazása... MAT/-10/4TK/7TÉ/1T
Geometriai és fizikai alkalmazások. MAT/-10/4TK/7TÉ/2F
Rendszerező ismétlés
40 óra
Cél
Az eddig tanult ismeretek rendszerezése, kiegészítése, a fontosabb anyagrészek kiemelése
Az eddig tanult módszerek gyakorlása, az ismeretek alkalmazása összetettebb feladatokban
A tanulók felkészítése a választott alapvizsgára; illetve a további matematikai tanulmányokra
Az összetettebb feladatok megoldása során a matematika különböző fejezetei közötti összefüggések megmutatása, tudatosítása
A matematika és a gyakorlati élet kapcsolatának, más tudományokban való alkalmazhatóságának megmutatása
Matematikatörténeti kapcsolódások megmutatása
A tanterv szintjén megfogalmazott képességek fejlesztése
Tananyag
Az eddig tanult tananyagot rendszerezve, kiegészítve átismételjük. Ahol lehet, olyan összetett feladatokat válogatunk, amelyek megoldásához sokféle ismeret egyidejű alkalmazása szükséges. A feladatok tartalma és megoldása erősíti a tanulókban a matematika különböző területeinek kapcsolatát. Olyan feladatok kitűzését is javasoljuk, amelyek bemutatják a matematika gyakorlati hasznosságát. Foglalkozzunk a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti vonatkozásokkal.
