Matematika 9. osztály 140 óra
Cél
A tanítás - tanulás folyamata
1. erősítse meg a formális, logikus, dialektikus, problémamegoldó, konvergens, divergens, konstruktív, algoritmizáló, heurisztikus, intuitív gondolkodásbeli elemeket;
2. fejlődjön a tanulók modellalkotó, absztrakciós, analizáló, szintetizáló, diszkutáló, általánosító, összehasonlító, lényeglátó, lényegkiemelő, fogalomalkotó, összefüggéseket feltáró, következtető képessége.
Erősödjön a tanulók bizonyítási, kutatási, a szép, pontos, áttekinthető munka, az önellenőrzés iránti igénye.
Fejlődjön a tanulók emlékezőképessége, önállósága, vitakészsége, alapossága, eredetisége, sík - és térszemlélete, tervszerűsége, kritikai érzéke.
Követelmény
A tanulók
- jól tudjanak dolgozni algebrai kifejezésekkel;
- készség szintjén oldjanak meg lineáris egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket;
- legyen megfelelő tapasztalatuk a másodfokú egyenletek megoldásában;
- jártasak legyenek a gyakorlat különböző területeire vonatkozó szöveges feladatok megoldásában;
- jól értsék a függvényvizsgálat szempontjait;
- jól tudják használni a függvényvizsgálat eredményeit;
- jól ismerjék a hasonlósági transzformációt;
- legyen tapasztalatuk a hasonlóság alkalmazásában (szerkesztések, adatok kiszámítása)
- ismerjék a térelemekkel kapcsolatos fogalmakat, definíciókat;
- legyen tapasztalatuk a testek származtatásában, hálózatuk elkészítésében;
- ismerjék néhány test felszínének és térfogatának kiszámítási módját;
- jártasak legyenek a számelméleti bizonyításokban,
- értsék a statisztikai adathalmazok és a valószínűségi modell kapcsolatát.
Részei
Valószínűségszámítás és statisztika
Függvények
30 óra
A tanulók függvényszemléletének fejlesztése
Függvénytani elnevezések, fogalmak, jelölések pontosítása
A függvény grafikonjáról a jellemző kapcsolatok leolvasása, a folyamatok függvényekkel való leírhatóságának megmutatása
A függvénygrafikon vizsgálata és ennek gyakorlati alkalmazása
A matematika más tudományokban (fizika, közgazdaságtan) való alkalmazhatóságának megmutatása
Függvénytani elnevezések, fogalmak, jelölések pontosítása
Követelmény
A tanulók jól ismerjék és helyesen használják az egymáshoz rendelés, az egyértelmű és kölcsönösen egyértelmű egymáshoz rendelés fogalmát
Készség szinten tudják ábrázolni a lineáris, abszolút érték, másodfokú és reciprokfüggvényt
Legyenek jártasak a függvénytranszformációban
Legyenek jártasak a függvényvizsgálatban
Jól értsék az értelmezési tartomány és az értékkészlet fogalmát
Ismerjék fel a képletből a lyukas függvényeket
Készség szinten tudjanak egyenleteket, egyenlőtlenségeket grafikusan megoldani
Helyesen használják a függvényjelöléseket
Függvénytranszformáció segítségével tudjanak ábrázolni több műveletet tartalmazó függvényeket
Tananyag
Átismételjük a halmazok egymáshoz rendelését, az egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű egymáshozrendelés fogalmát, a függvények megadási módjait, az értelmezési tartomány és az értékkészlet jelentését, a lineáris függvény grafikonjának ábrázolását.
Pontosítjuk a matematikában használatos függvényjelöléseket, gyakoroltatjuk ezek használatát. A függvény fogalmának elmélyítésére alkalmas a geometriai transzformációk függvény szempontú ismétlése.
Különböző algebrai átalakításokkal lineárissá tehető függvények ábrázolását gyakoroljuk. A grafikonok kapcsán bevezetjük a függvényvizsgálati szempontokat. A függvény vizsgálatát több oldalú, változatos szempontú kérdések alapján gyakoroljuk.
Új függvényekkel (abszolút érték, másodfokú, reciprok) ismerkedünk. Néhány összetett függvény grafikonját értéktáblázat segítségével ábrázoljuk. Az értéktáblázat készítésének mechanikus folyamata és a megsejtett törvényszerűségek motiválják a tanulókat az egyszerűbb ábrázolási technikák keresésére. Így jutunk el a függvénytranszformációhoz. Tapasztalatszerzés után eljutunk az f(x)+a; f(x+a); f(x+a)+b; -f(x); -f(x+a)+b szerkezetű függvények ábrázolási szabályához. A grafikonok megrajzolását motiválni lehet összetettebb, algebrai módszereinkkel még nem megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldásával. Ezek a feladatok alkalmasak az abszolút érték, a nevezetes azonosságok, algebrai átalakítások, a helyettesítési érték fogalmának gyakorlására.
NAT kapcsolatok
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
Változatos kombinatorikai feladatok. MAT/-10/1TK/4TÉ/1T
Konkrét tárgyak, dolgok, fogalmak... MAT/-10/1TK/4TÉ/3M
Néhány elem összes lehetséges... MAT/-10/1TK/4TÉ/5M
A függvénnyel kapcsolatos... MAT/-10/3TK/1TÉ/1T
y=ax+b egyenlettel megadott egyenes. MAT/-10/3TK/2TÉ/1A
Kétismeretlenes elsőfokú... MAT/-10/3TK/2TÉ/4T
Algebra
30 óra
Az eddig megszerzett ismeretekre alapozva tovább építjük az algebrát.
A tanulók
- lássák, hogy az eddig megtanultakból hogyan nő ki az új fogalom, eljárás, módszer (pl. szorzattá alakítás segítségével a másodfokú egyenlet megoldási eljárása, majd a megoldóképlet);
- tapasztalják meg, hogy ismereteik segítségével sokféle gyakorlati feladatot meg tudnak oldani;
- fejlődjön szövegértési képességük;
- pontosan értsék a szaknyelvet;
- tartsák fontosnak az ellenőrzést.
Fejlődjön a tanulók absztrakciós, konstrukciós, algoritmizáló, problémamegoldó, döntéselőkészítő, döntéshozó képessége, ötletessége, találékonysága, rugalmas gondolkodása. A lehető legegyszerűbb megoldásra való törekvés fejleszti a céltudatosságot, a gazdaságosságra való törekvést.
Követelmény
A tanulók
- jól tudjanak egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket megoldani;
- jól értsék az életkoruknak megfelelő szakmai nyelvet;
- képesek legyenek szöveges feladatok matematikai vázát megtalálni;
- képesek legyenek a szövegben rejlő lényeges elemeket megkülönböztetni a lényegtelentől;
- jól értsék a logikai állításokat;
_- legyenek tisztában az ellenőrzés fontosságával.
Tananyag
Az ebben a fejezetben tárgyalt szöveges feladatok megoldása az eddigieken túl megkívánja az ismeretlent a nevezőben tartalmazó -, illetve a másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásának képességét. A lineáris egyenletrendszerek megoldási módjainak felfedezését, pontosítását, megtanulását ugyancsak a szöveges feladatok motiválják és igénylik.
Részei
Ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek
Több feltétel egyszerre (egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek)
NAT
1.B) A bevezetett új műveletek... MAT/ÁLT/7-10./1B
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.F) Néhány lépéses algoritmusok... MAT/ÁLT/7-10./3F
4.A) Becslés, kerekítés, az eredmény... MAT/ÁLT/7-10/4A
4.B) Az ellenőrzés különböző módjainak... MAT/ÁLT/7-10./4B
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.F) Matematikai szöveg olvasása... MAT/ÁLT/7-10./4F
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
Ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 óra
Cél
Algebrai kifejezések szorzattá alakításának elsajátítása
Absztrakciós, modellalkotó, intuíciós, algoritmizáló, analizáló és problémamegoldó képesség fejlesztése
Követelmény
A tanulók készség szinten tudják használni a szorzattá alakítási lehetőségeket
Ismerjék köbös kifejezésekig a nevezetes azonosságokat
Magabiztosan tudják megkeresni algebrai kifejezések "legkisebb közös többszörösét"
Legyen jártasságuk az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában
Egyszerű algebrai törtekkel jól tudjanak műveleteket végezni
Értsék a paraméter fogalmát
Tudják alkalmazni a megismert algebrai módszereket, eljárásokat
Tananyag
Két vagy több szám l.k.k.t. - jának keresése átvezet két vagy több algebrai kifejezés l.k.k.t. - jának felírásához. Tudatosítani kell az algebrai kifejezések szorzattá alakításának jelentőségét. A bonyolultabb algebrai törtek összevonása, egyszerűsítése, szorzása és osztása szükségessé teszi egyrészt a kiemelés és az eddig megismert nevezetes azonosságok felelevenítését, másrészt a köbös, illetve negyedik hatványok különbségére vonatkozó szorzattá alakítás megismerését. A törtes egyenletek megoldásakor szerzett ismereteket felhasználva lehet az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenletek megoldásait pontosítani. Változatos egyenletek megoldásával lehet az ismereteket elmélyíteni.
Az egyenlőtlenségek megoldásában a tanulóknak már elég sok tapasztalatuk van. Ezeket az ismereteket kell rendszerezni. Az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek megoldását a számláló és a nevező előjelvizsgálatával célszerű végezni, és érdemes rámutatni arra, hogy a módszer több tényező esetére is általánosítható. Természetesen érdemes megmutatni a beszorzásos módszert is annak nehézségeivel együtt. A jobb képességű tanulókkal paraméteres feladatokat is érdemes megoldani.
NAT
Az elsőfokú egyenletek,... MAT/-10/2TK/4TÉ/3F
Elsőfokú kétismeretlenes... MAT/-10/2TK/4TÉ/1T
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
A zsebszámológép... MAT/-10/2TK/1TÉ/3M
Elsőfokú egyismeretlenes... MAT/-10/2TK/4TÉ/4M
Több feltétel egyszerre (egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek) 6 óra
Cél
Újabb algebrai eljárások megismerése
A kombinációs készség, algoritmizáló és analizáló képesség, a pontosságra való törekvés fejlesztése
Ellenőrzésre vonatkozó igény erősítése
Szaknyelvi szókincs gyarapítása
Követelmény
A tanulók jól tudjanak valamelyik módszer segítségével egyszerűbb egyenletrendszereket megoldani
Legyenek jártasak a különböző megoldási eljárásokban
Tartsák szükségesnek a megoldások ellenőrzését
Tananyag
Az egyenletrendszer fogalmának kialakítását, megértését, tisztázását segítik azok a feladatok, amelyek megoldásakor több feltételt kell figyelembe venni. Ilyenek a megoldáshalmazok derékszögű koordináta - rendszerben való ábrázolására vezető kétismeretlenes egyenletek; az ismeretlent a nevezőben tartalmazó egyenlőtlenségek; egyszerű diofantikus egyenletek; két függvénygrafikon metszéspontjának algebrai úton való keresése. Ilyen előkészítés után a tanulóknak természetesek lesznek a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldási módszerei, melyeket alkalmasan választott egyenletrendszerek megoldása közben a tanulók maguk fedeznek fel. Külön hangsúlyt fektessünk a megoldhatóság feltételeire, a megoldások számára és az ellenőrzésre!
NAT kapcsolatok
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
A zsebszámológép... MAT/-10/2TK/1TÉ/3M
[Kamatszámítás] MAT/-10/2TK/3TÉ
Elsőfokú kétismeretlenes... MAT/-10/2TK/4TÉ/1T
Az elsőfokú egyenletek,... MAT/-10/2TK/4TÉ/3F
Gyakorlottság szöveges... MAT/-10/2TK/4TÉ/5F
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Zárójelek felbontása összeadást,... MAT/-10/2TK/5TÉ/2F
Egyszerű esetekben szorzattá alakítás... MAT/-10/2TK/5TÉ/3F
Egyszerű egy- és kétismeretlenes... MAT/-10/3TK/2TÉ/2T
y=ax+b egyenlettel megadott egyenes. MAT/-10/3TK/2TÉ/1A
Két egyenes metszéspontjának... MAT/-10/3TK/2TÉ/3F
Kétismeretlenes elsőfokú... MAT/-10/3TK/2TÉ/4T
A másodfokú egyenlet 10 óra
Cél
Másodfokú egyenletek többféle megoldásával megvilágítani, hogy hogyan keresi a matematika adott problémához a minél egyszerűbb és általánosabb megoldási utat
Algoritmizáló, absztrakciós készség fejlesztése
Gazdaságosságra való törekvés megerősítése
Szaknyelvi szókincs bővítése
Önellenőrzés, pontosságra való törekvés, koncentráció fejlesztése
Követelmény
A tanulók jól ismerjék a különböző szorzattá alakítási lehetőségeket és a teljes négyzetté alakítást
Legyenek jártasak a bármilyen formában felírt másodfokú függvények ábrázolásában és vizsgálatában, a másodfokú egyenletek megoldásában
Pontosan ismerjék a négyzetgyök fogalmát, számolás közben alkalmazni is tudják
Helyesen tudják a számológépet használni négyzetgyökvonás elvégzéséhez
Legyenek jártasak a megoldóképlet alkalmazásában
Gyűjtsenek elegendő tapasztalatot a másodfokú függvények grafikonja, a másodfokú polinom értékeinek változása és a másodfokú egyenlet megoldásszáma közötti kapcsolatban
Értsék a diszkrimináns fogalmát
Legyenek képesek egyszerűbb másodfokú egyenlet együtthatóinak ismeretében a gyökök megállapítására
Készséggé váljon a megoldások ellenőrzése
Tananyag
A szorzattá alakítási lehetőségek ismétlésekor mód nyílik másodfokú egyenletek megoldására. Alkalmasan választott együtthatók esetén észrevehető, hogy a teljes négyzetként felírt alak két elsőfokú tényező szorzatává alakítható, és így az egyenlet megoldható. A másodfokú egyenletek algebrai és grafikus megoldásával gyakorolni lehet a szorzattá alakítást. A megoldások keresése fontossá teszi a négyzetgyök fogalmának tisztázását.
Elegendő tapasztalatszerzés után kerül sor az általános alakban adott másodfokú egyenlet megoldására olyan formán, hogy az egyenlet végigszámolása előtt a megoldási utat egy adott másodfokú egyenleten végiggondoljuk. Az általános megoldás elvezet a megoldóképlethez. Fokozatosan nehezedő, összetettebb egyenleteket oldunk meg. Mutassuk meg, hogy a megoldóképlet egyszerűbbé teszi az egyenletek megoldását, bár alkalmazása nélkül is el lehetne jutni a megoldásokhoz.
Feltétlenül kísérje az egyenletek algebrai megoldását a grafikus mód is. Tapasztalatokat kell szerezni a másodfokú függvény grafikonja, a másodfokú algebrai kifejezés értékeinek változása és a másodfokú egyenlet megoldásainak kapcsolatában. Így válik láthatóvá a megoldások számának jelentése, illetve a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása.
Megfogalmazzuk a gyökök száma és diszkrimináns kapcsolatát, tapasztalat alapján megfigyeljük a gyökök és együtthatók közötti összefüggést.
Figyelmet fordítunk a megoldások ellenőrzésére.
NAT
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
Értelmező szótár, szaklexikon... MAT/-10/1TK/1TÉ/2F
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
A zsebszámológép... MAT/-10/2TK/1TÉ/3M
[Kamatszámítás] MAT/-10/2TK/3TÉ
Másodfokú egyenletek. MAT/-10/2TK/4TÉ/2T
Az elsőfokú egyenletek,... MAT/-10/2TK/4TÉ/3F
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Zárójelek felbontása összeadást,... MAT/-10/2TK/5TÉ/2F
Egyszerű esetekben szorzattá alakítás... MAT/-10/2TK/5TÉ/3F
A másodfokú függvény ábrázolása és... MAT/-10/3TK/1TÉ/2F
Másodfokú függvények. MAT/-10/3TK/1TÉ/4T
Szöveges feladatok 6 óra
Cél
A matematika alkalmazhatóságának, hasznosságának bemutatása
A szövegértő, lényeglátó, problémamegoldó képesség, kreativitás fejlesztése
Az egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer megoldási módszereinek gyakoroltatása, az ismeretek fejlesztése
Követelmény
A tanulók jártasak legyenek szöveges feladatok matematikai nyelven való megfogalmazásában
Értsék a szöveges feladatokban előforduló fogalmakat
Jártasak legyenek a lényeg kiemelésében
Fordítsanak figyelmet az ellenőrzésre
Tananyag
Változatos tartalmú szöveges feladatokat oldunk meg. A megoldáshoz szükség van az eddig tanult egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek alkalmazására. Foglalkozunk gazdasági jellegű, alapvető pénzügyi ismereteket is nyújtó, illetve igénylő (kamat, adó, deviza, vám), számjegyes, munkavégzéses, keveréses, mozgásos, arányos feladatokkal. Gondot fordítunk a szöveg értelmezésére, a lényeg megragadására. A kreatív gondolkodást segítik a túl sok vagy túl kevés adattal megfogalmazott problémák.
NAT
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
A zsebszámológép... MAT/-10/2TK/1TÉ/3M
[Kamatszámítás] MAT/-10/2TK/3TÉ
Elsőfokú kétismeretlenes... MAT/-10/2TK/4TÉ/1T
Azonosságok; egyszerű algebrai... MAT/-10/2TK/5TÉ/1T
Kétismeretlenes elsőfokú... MAT/-10/3TK/2TÉ/4T
Geometria
30 óra
Annak felfedeztetése, hogy az egyes definíciók, tételek, bizonyítások hogyan épülnek egymásra (pl. hasonlóság - háromszögek hasonlósága - magasságtétel)
A kreatív gondolkodás, valamint a tervszerűség fejlesztése összetettebb szerkesztési feladatok megoldásánál (megoldási terv készítése)
A térszemlélet fejlesztése
Követelmény
A közösen is megfogalmazott definíciók, tételek kimondása, alkalmazása egyszerűbb feladatokban - lásd az altémáknál részletesen kifejtve
Tananyag
Az egybevágósági transzformációk és a középpontos hasonlóság után a hasonlósági transzformáció megfogalmazása következik. Síkidomok hasonlóságát vizsgálva keressük a hasonlóság szükséges, illetve elégséges feltételeit. A hasonlóságra vonatkozó, valamint korábbi ismereteink együttes felhasználásával bővítjük a háromszögekről, négyszögekről való ismereteinket (nevezetes vonalak, pontok).
Modellek készítésével, illetve használatával szemléltetjük, majd megfogalmazzuk a térelemek hajlásszögének, távolságának definícióját. Foglalkozunk a kúpszerű testek felszínének és térfogatának kiszámítására vonatkozó összefüggésékkel - megsejtjük, majd megadjuk és egyszerűbb esetekben alkalmazzuk azokat.
Részei
NAT
1.D) Geometriai transzformációk... MAT/ÁLT/7-10./1D
1.E) A sík- és térgeometriai fogalmak... MAT/ÁLT/7-10./1E
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.C) A szemléletesen kialakult geometriai MAT/ÁLT/7-10./2C
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.C) Halmazszemlélet, elemi halmaz... MAT/ÁLT/7-10./3C
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
Hasonlóság 15 óra
Cél
A ponttranszformációk körének bővítése; kapcsolatteremtés a “mindennapi élet” és a matematika között
Bizonyítási igény felkeltése
Tétel és megfordításának, tétel és következményének bemutatása
Logikai készség fejlesztése, korábbi ismeretek kreatív alkalmazása
Becslési képesség fejlesztése
A heurisztikus gondolkodási képesség fejlesztése úgy, hogy közben tudatosodjon: a sejtés még nem bizonyítás
Követelmény
A tanulók ismerjék a párhuzamos szelők tételét és megfordítását, a hasonlóság definícióját
Tudjanak különbséget tenni a hétköznapi értelemben vett és a matematikai hasonlóság között
Lássák, hogy az egybevágóság a hasonlóság speciális esete
Ismerjék a háromszögek hasonlóságának alapeseteire vonatkozó elégséges feltételeket
Egyszerű esetekben legyenek képesek bizonyítani két háromszög hasonlóságát
Ismerjék a magasság - és befogótételt, bizonyítással együtt
Ismerjék hasonló síkidomok kerülete, területe és a hasonlóság arányszámának összefüggését, valamint sejtsék meg a hasonló típusú összefüggést térfogatok esetén
Tananyag
A középpontos hasonlóság tulajdonságainak felelevenítése után a tapasztalatokat rendszerezi és indokolja a párhuzamos szelők tétele, melyet a racionális arányig bizonyítunk is. A bizonyítás jól felhasználja az egybevágóságról tanultakat. A párhuzamos szelők tételét számítási és szerkesztési (szakasz adott arányú osztása) feladatokban is alkalmazzuk. A középpontos hasonlóság tulajdonságait most már bizonyítva eljutunk a hasonlóság fogalmához. Foglalkozunk a háromszögek hasonlóságának alapeseteivel. Fontos, hogy a tanulók nem párhuzamos állású háromszögeknél is magabiztosan megtalálják a megfelelő oldalpárokat, hogy ezzel előkészítsük a magasság- és befogótételt, valamint a szögfüggvények bevezetését. A magasság- és befogótételt a diákok a megfelelő aránypárok felírásával maguk fedezik fel. Foglalkozzunk különféle síkidomok esetén a hasonlóság elégséges feltételeivel, szabályos síkidomok hasonlóságával. Vizsgáljuk a trapéz tulajdonságait a hasonlóság alapján! Oldjunk meg “életszerű” feladatokat (térkép, alaprajz alapján hosszúságok, területek számítása (külön emlékezzünk meg a területek arányáról általában, az erre vonatkozó tényt a tanulók a konkrét feladatokban tapasztalják, ez megkönnyíti az általánosítást). Ismert feladatok segítségével számíthatjuk tereptárgyak magasságát, ilyen számításokat akár a gyakorlatban is elvégezhetünk.
Térgeometria 15 óra
Cél
A térszemlélet fejlesztése, térelemek távolságának és szögének definiálása
Általánosítási képesség fejlesztése a kúpszerű testek és gúlák kapcsolatán keresztül
A testekről tanult ismeretek bővítése, a gömb mint mértani hely fogalmának felelevenítése
Követelmény
A tanulók ismerjék és tudják alkalmazni a következő fogalmakat: metszésvonal, sík és egyenes hajlásszöge, síkok hajlásszöge, kitérő egyenesek, pont és egyenes -, két egyenes -, két sík -, sík és egyenes távolsága
Ismerjék a kúpszerű testek képzési módszerét, a kúp és a gúla fogalmát, az ezekhez kapcsolódó elnevezéseket
Tudják megkülönböztetni az egyenes és ferde testeket
Értsék, mit jelent a szabályos n oldalú gúla kifejezés
Tudják elkészíteni egyszerű gúlák és kúpok hálózatát
Ismerjék a gúlák és kúpok felszínére és térfogatára vonatkozó összefüggéseket
Tudják megfogalmazni, hogy mi a gömb
Ismerjék az alábbi fogalmakat: átmérő, főkör, gömbsüveg
Ismerjék a gömb felszínének és térfogatának kiszámítási módját
Tananyag
Sok szemléltetés segítségével, a tanulókkal közösen “találjuk ki”, hogy hogyan lehetséges és célszerű a térelemek távolságát és szögét definiálni, majd végezzünk elemi geometriai ismereteinkkel kivitelezhető számításokat (téglatest csúcsai és testátló távolsága, kocka kitérő lapátlóinak szöge). Figyeljünk arra, hogy a tanulók elsajátítsák “használható” síkbeli ábrák készítését a térbeli alakzatokról. Vessük fel a merőleges síkokban futó egyenesekre vonatkozó tételt, és szemléltessük a kocka különböző síkmetszetein.
Szemléletes felvetéssel (pl. pénzérmékből kirakott egyenes és ferde torony) vessük fel a Cavalieri - elvet, vitassuk meg feltételeinek szükségességét! A háromszög alapú hasáb és háromoldalú gúla kapcsolatát lehetőleg kézbe adott szemléltetőeszközzel mutassuk meg majd a térfogat - képlet megbeszélése után végezzünk felszín - és térfogatszámítási feladatokat! Ezek a feladatok alkalmasak az eddig megismert számítási eljárások ismétlésére (Pitagorasz - tétel, területképletek).
Elevenítsük fel a gömb, mint mértani hely fogalmát! Foglalkozzunk a gömb síkmetszeteivel, beszéljünk a szélességi és hosszúsági körökről! Az Egyenlítő jól ismert hosszából számítsuk ki a Föld sugarát! A gömb térfogatának meghatározása Cavalieri - elv segítségével jól használja az eddig tanultakat. A térfogat - és felszínképletet összetett feladatokban is alkalmazzuk!
Számelméleti bizonyítások
15 óra
A tanulók
- természetes számokkal kapcsolatos ismeretei bővüljenek;
- az oszthatósági szabályokkal kapcsolatos ismereteiket újszerű, nehezebbnek tűnő problémamegoldásokban is alkalmazni tudják;
- ismerjék fel a számelméleti és algebrai ismeretek összefüggéseit, mélyüljön tudásuk;
- fejlődjön bizonyítási készségük, bővüljenek bizonyítási eszközökre vonatkozó ismereteik.
A négyzetszámok, köbszámok, hatványkifejezések maradékosztályok szerinti vizsgálata
A periodikusság megtapasztalása a számelméletben
Követelmény
A tanulók
- vizsgálni tudjanak egyszerű algebrai kifejezéseket (első -, másod -, esetleg magasabb fokúakat) egyszerű (2 - vel, 3 - mal való oszthatóság szempontjából);
- algebrai törtek vizsgálatánál el tudják dönteni, hogy milyen egész számra lesz az adott törtkifejezés értéke egész;
- legyenek képesek maradékosztályok szempontjából vizsgálni algebrai -, illetve hatványkifejezéseket;
- képesek legyenek egyszerűbb hatványkifejezések végződését megállapítani;
- képesek legyenek megoldani olyan oszthatósági bizonyítási feladatokat, melyek az algebrai kifejezések szorzattá alakítását, valamint az egymást követő természetes számok tulajdonságainak ismeretét feltételezik.
Tananyag
Egyszerű algebrai kifejezésekből kiindulva tekintjük át újra a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 - zel való oszthatósági szabályokat. Az algebrai kifejezések első -, másod -, majd magasabbfokúak legyenek. Az oszthatósággal párhuzamosan a kifejezéseket maradékosztályok szempontjából is vizsgáljuk.
Külön térjünk ki az algebrai törtek vizsgálatára.
Gyakoroltassuk az algebrában megszerzett szorzattá alakítási ismereteket az oszthatósággal kapcsolatos bizonyításokban, valamint vizsgáljunk egymást követő természetes számok szorzatával, négyzetszámok, köbszámok, hatványkifejezések végződésével kapcsolatos állításokat.
Vizsgáljunk adott algebrai kifejezést valamely előírt tulajdonság szerint “milyen n egészre lesz...” típusú feladatokban.
Végezzünk prímekkel kapcsolatos egyszerűbb bizonyításokat.
NAT
1.A) A bővülő számfogalom alkalmazása. MAT/ÁLT/7-10./1A
[Definíció, bizonyítás] MAT/-10/1TK/1TÉ
Mi a definíció. Mi a bizonyítás.... MAT/-10/1TK/1TÉ/1T
Értelmező szótár,szaklexikon... MAT/-10/1TK/1TÉ/2F
[Jellegzetes gondolatmenetek] MAT/-10/1TK/2TÉ
"Akkor és csak akkor"; tétel és... MAT/-10/1TK/2TÉ/1T
Összefüggések, sejtések tudatos... MAT/-10/1TK/2TÉ/2F
Példák jellegzetes gondolatmenetekre:... MAT/-10/1TK/2TÉ/3F
[Szövegelemzés] MAT/-10/1TK/3TÉ
Az életkornak megfelelő... MAT/-10/1TK/3TÉ/1T
Törekvés a megértett... MAT/-10/1TK/3TÉ/2F
Egyszerű konkrét szöveges feladatok... MAT/-10/1TK/3TÉ/3M
Egyszerű esetekben szorzattá alakítás... MAT/-10/2TK/5TÉ/3F
1.C) Fejlődő függvényszemlélet. MAT/ÁLT/7-10./1C
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,... MAT/ÁLT/7-10./3D
3.E) Szemléltető ábrák és modellek... MAT/ÁLT/7-10./3E
Valószínűségszámítás és statisztika
15 óra
Statisztikai adathalmazok modellezése valószínűségi modellel
A matematika gyakorlati felhasználhatóságának megmutatása
Önálló kutatómunka végzése
A valószínűség fogalménak mélyítése
A statisztikai alapfogalmak gyakorlása
Követelmény
Különböző szövegű valószínűségi problémák analógiájának felismerése
Adott valószínűségi problémához más modell megtalálása
Egyszerűbb statisztikai helyzetekhez valószínűségi modell alkotása
Tananyag
A téma egy valódi statisztikai helyzet matematikai modellezését tűzi ki célul - a feldolgozás megtalálható az AKG Kiadó gondozásában megjelent Valószínűségszámítás I. kötetben. Célunk annak meghatározása, hogy 100, illetve 200 négygyermekes családban milyen a gyermekek nemek szerinti megoszlása. A munka három részből áll. Egyrészt a tanulókkal különféle modellkísérleteket játszatunk végig (jó, ha ehhez minél több ötletet ők hoznak), melyek a fenti helyzetet szimulálják. Másrészt elméleti választ adunk a relatív gyakoriság, kombinatorikus valószínűség fogalmának felelevenítésével. A probléma ebben az értelemben egy összetett kiválasztási feladat megoldása, ami egyúttal előkészíti a következő tanév kombinatorikai témáját is. Harmadrészt a feldolgozáshoz önálló kutatómunka társul, valódi statisztika felvétele vagy egy idevágó statisztika felkutatása. A kísérleti eredményeket, a várakozást és a valódi eredményt is hisztogramon ábrázoljuk, a kapott eltérést matematikailag értelmezzük. “Szerencsés” esetben azt kell kapnunk, hogy a modellkísérletek lényegesen jobban megközelítik az elméleti eredményt, mint a valódi statisztikai adatok. Az eltérés okainak kinyomozását (ez már nem matematikai téma) a tanulókra bízzuk. Elfogadva, hogy az 50% - os elgondoláson alapuló modell nem állta meg a helyét, új modellt keresünk.
NAT kapcsolatok
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.D) Egyszerű esetekben a valószínűség... MAT/ÁLT/7-10./2D
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,... MAT/ÁLT/7-10./3D
3.E) Szemléltető ábrák és modellek... MAT/ÁLT/7-10./3E
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
Rendszerező ismétlés
20 óra
Cél
A tanult ismeretek rendszerezése, kiegészítése, a fontosabb anyagrészek kiemelése.
Az eddig tanult módszerek gyakorlása, az ismeretek alkalmazása összetettebb feladatokban.
A tanterv elején felsorolt képességek életkornak megfelelő kifejlesztése.
Tananyag
Az altémákban megfogalmazott tartalomnak megfelelő tananyagot rendszerezve, kiegészítve átismételjük. Ahol lehet, olyan összetett feladatokat válogatunk, amelyek megoldásához sokféle ismeret szükséges. A feladatok tartalma és megoldása erősítse a tanulókban a matematika különböző területeinek kapcsolatát. Olyan feladatok kitűzését is javasoljuk, amelyek bemutatják a matematika gyakorlati hasznosságát.
Foglalkozzunk az éves tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti vonatkozásokkal.
