Matematika 8. osztály 140 óra
Cél
A tanítás - tanulás folyamata
1. alapozza meg a dialektikus, problémamegoldó, konvergens, divergens gondolkodásbeli elemeket;
2. fejlessze az algoritmizáló, konstruktív, formális, logikus, heurisztikus, intuitív gondolkodásmódbeli elemeket.
Alakuljon ki a tanulók modellalkotó, diszkutáló, általánosító, összefüggéseket feltáró, specializáló gondolkodással összefüggő képessége.
Fejlődjön a tanulók absztrakciós, összehasonlító, lényeglátó, lényegkiemelő, fogalomalkotó, következtető, ítéletalkotó képessége; a sík - és térszemlélete; gondolkodásának rugalmassága; ötletessége.
Erősödjön a tanulók bizonyítási igénye, a bizonyítatlan állításokban való kételkedése
Alakuljon ki a tanulók kutatási igénye.
Fordítsunk gondot a rendezés, az emlékezőképesség (bevésés, megőrzés, felidézés), az önállóság, pontosság, tervszerűség, kritikai érzék, figyelemkoncentráció, vitakészség, az önellenőrzés fejlesztésére.
Követelmény
A tanulók készség szintjén tudják
- használni a négy alapműveletet;
- legyenek jártasak a hatványozásban egész kitevő esetén, illetve az algebrai kifejezésekkel végezhető egyszerűbb műveletekben;
- jól tudjanak lineáris egyenleteket, egyenlőtlenségeket megoldani;
- legyen tapasztalatuk az egyszerűbb függvények grafikonjának ábrázolásában;
- értsék a függvény fogalmát;
- tudjanak egyszerűbb szöveges feladatokat megoldani;
- értsék a számsorozatok fogalmát;
- tisztában legyenek az egybevágósági transzformációkkal;
- tudjanak egyszerű síkidomokat szerkeszteni;
- jól tudják használni a mértékegységeket;
- tudják kiszámítani egyszerű térbeli alakzatok felszínét és térfogatát;
- jól értsék a középpontos hasonlóság, az arány fogalmát;
- ismerjék és egyszerűbb esetekben alkalmazni is tudják Pitagorasz tételét;
- értsék a gráfok fogalmát;
- legyenek jártasak kombinatorika feladatok végiggondolásában, illetve zárt képlettel való megoldásában
- értsék, és tapasztalati szinten tudják használni a valószínűség fogalmát;
- helyesen alkalmazzák a statisztikai alapfogalmakat,
- legyenek képesek egyszerűbb számelméleti tételek bizonyítására.
Részei
Valószínűségszámítás és statisztika
Algebra
30 óra
A tanulók pontosan és jól értsék az algebrai műveleteket
Fedezzék fel azokat az összefüggéseket, eljárásokat, amelyekkel megoldásaik egyszerűbbé, áttekinthetőbbé, rövidebbé tehetők
Jól lássák az algebrai ismeretek, eljárások alkalmazási lehetőségét a matematika más területein és egyes szaktudományokban
A hatványozás 0 és negatív egész kitevőre való kiterjesztése alkalmat ad arra, hogy a tanulók megértsék a permanencia elvét
A számok normál alakjának használata lehetőséget ad a fizikához, kémiához, biológiához, csillagászathoz, közgazdaságtanhoz kapcsolódó problémák megoldására
Fejlődjön a tanulók absztrakciós, konstrukciós, algoritmizáló, problémamegoldó, döntéselőkészítő, döntéshozó képessége, ötletessége, találékonysága, rugalmas gondolkodása. A lehető legegyszerűbb megoldásra való törekvés fejleszti a céltudatosságot, a gazdaságosságra való törekvést.
Követelmény
A tanulók
- jól ismerjék az algebrai egész kifejezések összevonását, szorzását;
- legyen tapasztalatuk az egyszerűbb algebrai törtek összevonásában, szorzásában, osztásában;
- értsék az algebrai kifejezések értelmezhetőségét;
- ismerjék a paraméter fogalmát;
- jól tudjanak lineáris, vagy lineárissá tehető egyenleteket, azonosságokat, egyenlőtlenségeket megoldani;
- jól értsék a hatványozás fogalmát, műveleteit;
- jól tudjanak egész kitevőjű hatványokkal dolgozni
Tananyag
Folytatjuk a hetedik osztályban elkezdett algebrai tanulmányokat. Az algebrai egész és törtkifejezésekkel végzett műveleteket gyakoroljuk. Mindenféle lineáris, vagy átalakítással lineárissá tehető egyenlettel, egyenlőtlenséggel foglalkozunk. Változatos, a gyakorlathoz kapcsolódó szöveges feladatokat oldunk meg.
Részei
Algebrai kifejezések / Amit már tudunk
Algebrai törtek összevonása, hatványozás
Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feladatok
NAT
1.A) A bővülő számfogalom alkalmazása. MAT/ÁLT/7-10./1A
1.B) A bevezetett új műveletek... MAT/ÁLT/7-10./1B
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.F) Néhány lépéses algoritmusok... MAT/ÁLT/7-10./3F
4.A) Becslés, kerekítés, az eredmény... MAT/ÁLT/7-10/4A
4.B) Az ellenőrzés különböző módjainak... MAT/ÁLT/7-10./4B
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
Algebrai kifejezések / Amit már tudunk 10 óra
Cél
Az ismétléskor adott változatos tartalmú feladatokkal a racionális számok fogalmának, a velük végezhető négy alapműveletnek, a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmának elmélyítése
A műveleti tulajdonságokkal kapcsolatos ismeretek elméleti szintre emelése
Az algebrai kifejezések egyszerűbbé tételét szolgáló lehetőségek megtapasztalása
Találkozás a nevezetes azonosságokkal, fontosságuk és hasznosságuk felismerése
Az absztrakciós készség fejlesztése
Az adott számhalmazba sorolással a logikai gondolkodás, az “és”, “vagy” kifejezések használatának gyakorlása
Követelmény
A tanulók helyesen és pontosan tudják használni a racionális szám fogalmát
Készség szintjén alkalmazzák a racionális számkörben a négy alapműveletet
Értsék és alkalmazni is tudják a műveleti tulajdonságokat (összeadás, szorzás, pozitív egész kitevőjű hatványok szorzása, osztása)
Jól ismerjék és alkalmazni is tudják az egyszerűbb nevezetes azonosságokat
Tudjanak algebrai kifejezéseket összevonni és szorozni
Egytagú algebrai kifejezések osztásában gyűjtsenek tapasztalatokat
Tananyag
Átismételjük a négy alapműveletet racionális számokkal. Pontosítjuk a racionális szám fogalmát, és foglalkozunk különböző alakjaival. Tudatosítjuk, hogy ugyanazt a racionális számot többféle módon lehet leírni. Összefoglaljuk és rendszerezzük az összeadás és a szorzás műveleti tulajdonságait (kommutativitás, asszociativitás). A pozitív egész kitevőjű hatványokkal végzett műveletek során átismételjük a hatványozásra vonatkozó műveleti tulajdonságokat. Ezekkel az ismétlő feladatokkal egyben a halmazokkal kapcsolatos ismereteket, halmazműveleteket is átismételjük. Az algebrai kifejezések értékének kiszámítása is alkalmas a racionális számokkal végzett négy alapművelet ismétlésére.
Az algebrai kifejezések összevonásának, szorzásának ismétlése után továbblépünk az egytagúak osztására, ügyelve a 0 szerepére.
Több oldalról közelítjük a nevezetes azonosságokat. A megszerzett tapasztalatokat pontosítjuk, rendszerezzük. Gyakoroltatjuk algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozásával, egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során.
NAT
[Logika] MAT/-8/1TK/2TÉ
Az "és", "vagy", "ha..., akkor", "nem"... MAT/-8/1TK/2TÉ/1T
A nyelv logikai elemeinek használata. MAT/-8/1TK/2TÉ/2F
Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. MAT/-8/1TK/2TÉ/3T
Képesség egyszerű... MAT/-8/1TK/2TÉ/4F
[Szaknyelv használata] MAT/-8/1TK/3TÉ
A szaknyelv... MAT/-8/1TK/3TÉ/1T
Egyszerű szöveges... MAT/-8/1TK/3TÉ/2F
Számtan, algebra MAT/-8/2TK
[Számok] MAT/-8/2TK/1TÉ
A racionális szám... MAT/-8/2TK/1TÉ/1T
Az eredmény becslése... MAT/-8/2TK/1TÉ/2F
Kerekítések,... MAT/-8/2TK/1TÉ/3T
Biztos készség... MAT/-8/2TK/1TÉ/4F
A zsebszámológépek... MAT/-8/2TK/1TÉ/5F
Műveletfogalom. MAT/-8/2TK/1TÉ/6A
[Hatványozás, négyzetgyök] MAT/-8/2TK/2TÉ
A pozitív egész kitevőjű hatványozás. MAT/-8/2TK/2TÉ/1T
A pozitív egész kitevőjű hatvány... MAT/-8/2TK/2TÉ/2F
[Egyenlet, egyenlőtlenség] MAT/-8/2TK/5TÉ
Egyenlet, egyenlőtlenség, alaphalmaz,... MAT/-8/2TK/5TÉ/1T
Egyenletek, egyenlőtlenségek átalakítása MAT/-8/2TK/5TÉ/2T
Az egyenletek, egyenlőtlenségek... MAT/-8/2TK/5TÉ/3A
Szöveges feladatok... MAT/-8/2TK/5TÉ/4F
A megoldás létezése... MAT/-8/2TK/5TÉ/5F
Egyszerű szöveges... MAT/-8/2TK/5TÉ/6A
[Algebrai kifejezések] MAT/-8/2TK/6TÉ
Algebrai egész... MAT/-8/2TK/6TÉ/1T
Algebrai törtek összevonása, hatványozás 10 óra
Cél
A tanulók gondolkodásmódjának fejlesztése az újabb logikai műveletek (mindig igaz, néha igaz, sohasem igaz) alkalmazásával
A szorzattá alakítás, algebrai törtek összevonása témákban sok tapasztalat gyűjtése, hogy a felfedezés örömével juthassanak új ismeretekhez
Fentiekkel az analógiás, algoritmizáló gondolkodás fejlesztése
A hatványozás és a normálalak használatával kitekintés más tudományok területére, a matematika alkalmazási lehetőségeinek megmutatása
Az új fogalmak, műveletek kapcsán gyakorolni kell a szakkifejezések helyes használatát
Követelmény
A tanulók jól értsék a “mindig igaz”, “néha igaz”, “sohasem igaz” kifejezéseket
Gyűjtsenek tapasztalatot a szorzattá alakítási lehetőségekről
Legyenek jártasak a kiemelés lehetőségének felismerésében, két négyzetszám különbségének szorzattá alakításában
Gyűjtsenek tapasztalatokat algebrai törtek összevonásában, a közös nevező megállapításában
Vizsgálják az algebrai törtek értékeit, különös tekintettel a nevező null - helyére
Jól értsék a 0 és a negatív egész kitevőjű hatvány definícióját
Legyenek jártasak a hatványozásban és a hatványokkal végzett műveletekben
Tudják alkalmazni a hatványozás azonosságait egész kitevőjű és azonos alapú hatványok esetén
Használják a számok normálalakos felírását
Tananyag
Egyenlőségeket vizsgálunk abból a szempontból, hogy a bennük szereplő paraméter minden értékére igaz, vagy vannak olyan értékek, amelyekre nem igaz, illetve sohasem igaz. Az egyenlőségek között főleg olyanok szerepelnek, amelyeknek egyik oldalán algebrai kifejezések szorzata, a másik oldalon pedig a kifejtett szorzat szerepel. Így a tanulók újból találkoznak az egyszerűbb nevezetes szorzatokkal, illetve tapasztalatot szereznek a kiemelésben. Algebrai kifejezések szorzattá alakítását motiválni lehet az algebrai törtek összevonására, bonyolultabb algebrai kifejezések egyszerűbbé tételére vonatkozó feladatokkal, illetve olyan egyenletek megoldásával, amelyek egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehetők. Ezen egyenletek megoldása jól látható értelmet ad az ellenőrzésnek.
Alkalmas, a tanulók érdeklődéséhez közel álló feladattal érdemes bevezetni a 0 és negatív egész kitevőjű hatványok jelentését. Egyszerű feladatokkal tapasztalatot lehet szerezni a műveleti azonosságokban. Alkalmasan választott, más tudományból vett olvasmányokkal motiválhatjuk a tanulókat a számok normálalakjának elsajátítására és használatára. Gazdasági jellegű feladatokkal a normálalakkal végzett műveletek jól gyakoroltathatók.
NAT
[Logika] MAT/-8/1TK/2TÉ
Az "és", "vagy", "ha..., akkor", "nem".. MAT/-8/1TK/2TÉ/1T
A nyelv logikai elemeinek használata. MAT/-8/1TK/2TÉ/2F
Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. MAT/-8/1TK/2TÉ/3T
Képesség egyszerű... MAT/-8/1TK/2TÉ/4F
[Egyenlet, egyenlőtlenség] MAT/-8/2TK/5TÉ
[Algebrai kifejezések] MAT/-8/2TK/6TÉ
Egyenlet, egyenlőtlenség, alaphalmaz,... MAT/-8/2TK/5TÉ/1T
Egyenletek, egyenlőtlenségek átalakítása MAT/-8/2TK/5TÉ/2T
Az egyenletek, egyenlőtlenségek... MAT/-8/2TK/5TÉ/3A
Szöveges feladatok... MAT/-8/2TK/5TÉ/4F
A megoldás létezése... MAT/-8/2TK/5TÉ/5F
Egyszerű szöveges... MAT/-8/2TK/5TÉ/6A
Algebrai egész... MAT/-8/2TK/6TÉ/1T
Gyakorlottság... MAT/-8/2TK/6TÉ/2F
Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feladatok 10 óra
Cél
A gondolkodási képesség fejlesztése a megoldási terv készítésével
A pontos, precíz munka gyakorlása, az ellenőrzés fontosságának hangsúlyozása
Összetettebb problémák megoldása a frissen tanult eljárások segítségével
A problémamegoldó képesség fejlesztése
A szöveg megértésének gyakoroltatása szöveges feladatok megoldásával
Követelmény
A tanulók készség szintjén tudjanak lineáris egyenleteket és egyenlőtlenségeket megoldani
Legyenek jártasak az egyszerűsítéssel lineárissá tehető egyenletek megoldásában
Gyűjtsenek tapasztalatokat a nevezőben ismeretlent tartalmazó egyenletek megoldásában
Jártasak legyenek egyszerű szöveges feladatok megoldásában
Tananyag
Változatos elsőfokú vagy egyszerűsítéssel elsőfokúvá tehető egyenleteket oldunk meg. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor a tanulók gyakorolják az algebrai kifejezések összevonását, szorzását, szorzattá alakítását. Megoldunk a nevezőben számokat tartalmazó egyenleteket és egyenlőtlenségeket. Tapasztalatokat gyűjtünk olyan egyenletek megoldásában, amelyeknek a nevezőjében is szerepel az ismeretlen.
A szöveges feladatok megoldásához felhasználjuk az eddig tanult eljárásokat. Egyszerű keveréses, helyiértékes és munkavégzéses feladatokat oldunk meg.
A szorzattá alakítás segítségével egyszerű másodfokú egyenleteket is megoldunk.
NAT
[Szaknyelv használata] MAT/-8/1TK/3TÉ
A szaknyelv... MAT/-8/1TK/3TÉ/1T
Egyszerű szöveges... MAT/-8/1TK/3TÉ/2F
[Egyenlet, egyenlőtlenség] MAT/-8/2TK/5TÉ
Egyenlet, egyenlőtlenség, alaphalmaz,... MAT/-8/2TK/5TÉ/1T
Egyenletek, egyenlőtlenségek átalakítása MAT/-8/2TK/5TÉ/2T
Az egyenletek, egyenlőtlenségek... MAT/-8/2TK/5TÉ/3A
Szöveges feladatok... MAT/-8/2TK/5TÉ/4F
A megoldás létezése... MAT/-8/2TK/5TÉ/5F
Egyszerű szöveges... MAT/-8/2TK/5TÉ/6A
[Algebrai kifejezések] MAT/-8/2TK/6TÉ
Algebrai egész... MAT/-8/2TK/6TÉ/1T
Gyakorlottság... MAT/-8/2TK/6TÉ/2F
Függvények
18 óra
A különböző módon megadott halmazokkal és egymáshoz rendelésükkel kialakítani a tanulókban annak felismerését, hogy a dolgok többféle módon és szempont szerint kapcsolódhatnak egymáshoz.
A “változás” megjelenítése grafikonon, a grafikon jelentésének érzékelése, a tapasztalatokból a függvényvizsgálat szempontjainak kialakítása, a függvényszemlélet kialakítása
A matematika, függvénytan eszközei alkalmazhatóságának megtapasztalása, megmutatása más szaktudományokban, illetve gyakorlati problémákban
A szépérzék, a pontosságra való törekvés hangsúlyozása
Jól megválasztott kérdésekkel a “ha... akkor”, “minden”, “van olyan” fogalmának gyakorlása, a logikai készség fejlesztése
Újabb szakszavak megismerése
Követelmény
A tanulók jól értsék a halmazok egymáshoz rendelésének fogalmát, az egyértelműség és a kölcsönös egyértelműség jelentését
Ismerjék és helyesen alkalmazzák a függvényekkel kapcsolatos jelöléseket
Legyenek jártasak a lineáris függvények felrajzolásában
Gyűjtsenek elegendő tapasztalatot az értelmezési tartomány és az értékkészlet jelentéséhez
Legyenek jártasak a lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldásában
Jól értsék a lineáris egyenletrendszerek grafikus ábrázolásában a metszéspont létezésének és koordinátáinak a jelentését
Tananyag
Változatosan meghatározott halmazok elemeit rendeljük egymáshoz. Főleg számhalmazokkal foglalkozunk. Mellettük nagyon jól lehet az életből vett halmazokat egymáshoz rendelni (pl. fiúk - lányok), ezekkel ugyanis jól lehet szemléltetni az egymáshozrendelés fogalmát. Ahhoz, hogy a tanulók elegendő tapasztalatot gyűjtsenek az egymáshozrendelés, az egyértelmű -, ill. kölcsönösen egyértelmű egymáshozrendelés fogalmában, sok és többféle szempontból megfogalmazott feladatra van szükség. A függvény fogalmának kialakítása után foglalkozunk az értelmezési tartomány, értékkészlet jelentésének elmélyítésével, valamint a függvény megadásának módozataival. A képlettel megadott függvények adott helyen vett értékeinek kiszámítását egyrészt kapcsolni lehet az algebrai kifejezéseknél tanultakhoz, másrészt kialakítja a tanulókban a független - és függő változó fogalmát. A függvényfogalom kialakításával együtt nagy súlyt fektetünk a függvényekkel kapcsolatos jelölések bevezetésére és helyes használatára.
A függvény grafikonjának ábrázolását már több helyen előkészítettük (táblázatok, szöveges feladatok alapján készült grafikonok, halmazok összetartozó elemeinek ábrázolása). A tanulók főleg a lineáris függvények ábrázolásában gyűjtsenek tapasztalatot, de célszerű más függvény grafikonjának a megrajzolása is. Foglalkozzunk az “összeköthetők - e a pontok” kérdésével, jussunk el a kételkedésig - nem baj, ha nyitva marad a probléma.
Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása átvezet a lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldásához. Az ilyen típusú feladatok megoldása azért is fontos, mert előkészíti a koordinátageometriai szemléletet.
NAT
1.C) Fejlődő függvényszemlélet. MAT/ÁLT/7-10./1C
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
Szabályszerűségek... MAT/-8/1TK/1TÉ/2F
Matematikatörténeti... MAT/-8/1TK/1TÉ/4A
Az "és", "vagy", "ha..., akkor", "nem".. MAT/-8/1TK/2TÉ/1T
Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. MAT/-8/1TK/2TÉ/3T
A szaknyelv... MAT/-8/1TK/3TÉ/1T
[Derékszögű koordinátarendszer] MAT/-8/3TK/1TÉ
[Függvények] MAT/-8/3TK/2TÉ
Változó mennyiségek... MAT/-8/3TK/2TÉ/1T
Táblázat és grafikon készítése... MAT/-8/3TK/2TÉ/2F
x->x+b függvény és... MAT/-8/3TK/2TÉ/3M
Függvények és ábrázolásuk... MAT/-8/3TK/2TÉ/4T
Elsőfokú egyismeretlenes... MAT/-8/3TK/2TÉ/5F
x->1/x, x->x^2 MAT/-8/3TK/2TÉ/6T
Számelmélet
12 óra
A tanulók mélyítsék el a pozitív egész számok halmazáról szerzett tapasztalataikat, ismereteiket
Ébredjen fel bizonyítási igényük, ismerkedjenek direkt és indirekt bizonyítási módszerekkel
Szerezzenek tapasztalatot az induktív és deduktív gondolatmenetekben
Követelmény
Ismerjék az alkalmazás szintjén a következő fogalmakat: összetett szám, prímszám, osztó, többszörös, prímtényezős felbontás, osztópárok, valódi osztó, közös osztó, közös többszörös, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, összes osztó, relatív prímek, számok osztási maradékai; valamint a számelmélet alaptételét.
Legyen megfelelő jártasságuk a számok prímtényezős felbontásában, az osztók megkeresésében, az oszthatósági szabályokban, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös meghatározásában, a maradékosztályokba való sorolásban.
Részei
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
Maradékosztályok, számrendszerek
NAT
1.A) A bővülő számfogalom alkalmazása. MAT/ÁLT/7-10./1A
1.C) Fejlődő függvényszemlélet. MAT/ÁLT/7-10./1C
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,... MAT/ÁLT/7-10./3D
3.E) Szemléltető ábrák és modellek... MAT/ÁLT/7-10./3E
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 8 óra
Cél
A legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös fogalmának megismerése és elmélyítése
A bizonyítási igény és készség alapozása
Egyszerű diofantoszi egyenletek segítségével a kreativitás, matematikai
Több megoldással bíró matematikai problémák megtapasztalása
A számelmélet, mint a problémamegoldás sokrétű eszközének megtapasztalása
Követelmény
A tanulók készség szinten tudják megkeresni két szám közös osztóit, közös többszöröseit, illetve a l.n.k.o., l.k.k.t. - t
Ismerjék az új fogalmak tulajdonságait, ezeket állítások bizonyításában alkalmazni tudják
Ismerjék fel a szöveges problémák megoldásakor az új fogalmak használati lehetőségét és az általuk kínált módszert
Ismerjék a relatív prímek fogalmát
Tananyag
Egyszerű szöveges feladatok, illetve a törtek egyszerűsítése kínál lehetőséget arra, hogy a közös osztó, közös többszörös fogalmát sok tapasztalattal vezessük be. Ezek után kiválasztjuk az l.n.k.o. - t, l.k.k.t. - t. Meghatározásukhoz használjuk a törzstényezős felbontást. A tanulók megérzik, illetve tudatosan megtalálják a helyes módszert, csak a tisztázásban kell segítenünk. Speciális eset az (a,b) = 1, azaz itt vezessük be a relatív prímek fogalmát, és figyeljük meg ebben az esetben [a,b] - t is! Keressük meg több szám l.n.k.o. ill. l.k.k.t. - jét is számpéldákban, illetve érdekes szöveges feladatokban. Keressünk adott (a,b) és a, illetve [a,b] és a esetén megfelelő b - t! Figyeljünk ezeknél a feladatoknál a logikailag helyes fogalmazásra!
Szöveges feladattal vezethetünk be egyszerű diofantoszi egyenleteket. Ezek megoldása során fontos rámutatni, hogy a megoldás nem egyértelmű.
A témakör végére olyan sok ismeret halmozódik fel, hogy célszerű vegyes feladatokkal átmozgatni az egész anyagot (betű - számtan, számsor - szabály kitalálós vegyes szöveges feladatok stb.)
NAT
Osztó, többszörös. MAT/-8/2TK/4TÉ/3M
Relatív prímek. MAT/-8/2TK/4TÉ/4T
Két szám legnagyobb... MAT/-8/2TK/4TÉ/6M
Maradékosztályok, számrendszerek 4 óra
Cél
Számfogalom bővítése
Érdekességek felvillantása a természetes számok körében, matematikatörténeti kitekintés
Absztrakciós és bizonyítási készség fejlesztése
A prím és összetett szám fogalmának mélyítése
A számrendszerek felépítésének és sajátosságainak megmutatása, az oszthatósági szabályok és számrendszerek kapcsolatának láttatása, az oszthatósági szabályok általánosítása
Kombinatív készség fejlesztése
Az osztók száma, mint számelméleti függvény megismerése
Az l.n.k.o. és l.k.k.t. fogalmának mélyítése, az ismeretek összegzése
Statisztikai ismeretek megalapozása a prímek és összetett számok elhelyezkedésének vizsgálatával
Kitekintés a modern matematikai kutatások irányába
Követelmény
A tanulók ismerjék a négyzetszám, köbszám, negyedik hatvány fogalmát, ismerjék fel a tulajdonság kapcsolatát a prímtényezős felbontással
Ismerjék az ikerprímek, tökéletes és barátságos számok, pitagoraszi számhármasok fogalmát, ismerjék a legkisebb ilyen tulajdonságú számokat
Legyen jártasságuk a maradékosztályokba sorolásban, tudjanak egyszerű állításokat bizonyítani maradékosztályok segítségével
Értsék az oszthatósági szabályok indoklását 10 - es számrendszerben
Tudjanak adott számrendszerbe számokat át - és visszaírni
Legyenek jártasak az összes osztó megkeresésében
Ismerjék és értsék az (a,b)×[a,b]=a×b összefüggést
Ismerjék a számelmélet alaptételét, és értsék annak nem triviális jelentését
Ismerjék a prímek számosságára vonatkozó állítást, értsék a bizonyítás lényegét
Tudjanak egymást követő összetett számokat képezni, legyenek jártasak az összetett számok előállításában
Tananyag
A tanulók korábbi ismeretei lehetővé teszik, hogy a témát eddigi ismereteikre alapozó érdekes problémákkal vezessük be, ezzel ismételve és mélyítve a már megszerzett ismereteket. Osztályozzuk új szempontból az összetett számokat: foglalkozzunk a négyzet - és köbszámok, negyedik hatványok speciális tulajdonságaival, prímtényezős felbontásukkal. Érdekességként foglalkozzunk az ikerprímekkel, tökéletes és barátságos számokkal, pitagoraszi számhármasokkal, történeti vonatkozásokkal.
Elevenítsük fel a prímtényezős felbontás alapján megoldható feladatokat, (a,b) és [a,b] fogalmát, ismerjük fel és értelmezzük az (a,b)×[a,b]=a×b összefüggést.
Az új ismereteket a maradékosztályok megalkotására vezető szöveges feladatokkal kezdjük, és ábrázoljuk a maradékosztályokat Venn - diagramon. Vizsgáljuk a számok összegére, különbségére, szorzatára vonatkozó oszthatósági szabályokat sok tapasztalatszerzéssel, és indokoljuk tapasztalatainkat a maradékosztályok segítségével - ez jól alkalmaz algebrai ismereteket is. Ehhez a témakörhöz tartozik a korábban tanult oszthatósági szabályok mélyebb megértése, amely ugyanakkor jól előkészíti a számrendszerekkel történő általánosabb foglalkozást. Foglalkozzunk számok át - és visszaírásával 2 - es, 5 - ös, 6 - os, 12 - es, 16 - os számrendszerbe, figyeljük meg az érdekességeket és ezek kapcsán világítsuk meg az egyes számrendszerek hasznosságát a számítástechnikában és a matematika történetében, tekintsük át a számírás érdekességeit, mutassuk meg a 0 és a helyiérték szerepét. Vizsgáljuk a 7 - tel való oszthatóság eddig hiányzó szabályát, kapcsolatát a 6 - os számrendszerrel.
“Párosországba” történő kitekintéssel vizsgáljuk a prímszám, összetett szám, oszthatóság, törzstényezős felbontás tulajdonságait, a számok tényezőkre bontását. Visszatérve a természetes számok körébe fogalmazzuk meg a számelmélet alaptételét, hangsúlyozva és megértve annak nem triviális voltát. Határozzuk meg a prímtényezős felbontás és a fa - diagram segítségével az osztók számát (grafikonja nem folytonos vonal, nem monoton).
Vizsgáljuk táblázat segítségével a prímek eloszlását 1 és 10000 között, figyeljük meg a gyakoriság és eloszlás érdekességeit. Keressünk adott darabszámú összetett számot prímek között! Mutassuk meg a prímek előállításának nehézségeit, villantsunk fel felvetéseket a modern matematika témáiból.
Geometria
30 óra
A tanulók
- újabb ponttranszformációkkal ismerkedjenek meg;
- mélyítsék el a ponttranszformáció fogalmát;
- találjanak kapcsolatot a különböző ponttranszformációk között;
- pontosítsák az egybevágósággal kapcsolatos fogalmakat;
- alakuljon ki bizonyítási igényük (Pitagorasz - tétel);
- jól értsék: a matematikai tételek nem önmagukért vannak, azok tapasztalatok általánosításából születnek, és alkalmazásuk új, ismeretlen területekre vezethet;
- fejlődjön sík - és térszemléletük;
Követelmény
A tanulók
- jól ismerjék és alkalmazzák a ponttranszformációkat;
- jól értsék az egybevágósági és a középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai közötti különbséget;
- jól ismerjék a vektor fogalmát, képesek legyenek vektorokkal műveleteket végezni;
- jól ismerjék a Pitagorasz - tételt
- képesek legyenek a Pitagorasz - tétel alkalmazására
- készség szintjén tudjanak a mértékegységekkel bánni
Tananyag
Két újabb ponttranszformáció megismerése alkalmat ad az egybevágósági transzformációk összefoglalására, egyúttal a ponttranszformáció és függvény fogalmának összekapcsolására, a ponttranszformáció, mint függvény értelmezésére. A két ponttranszformáció segítségével bevezetjük a vektorok és műveleteik fogalmát, illetve a szögmérés, középponti szög, kör és részeivel kapcsolatos ismereteket. A Pitagorasz - tétel lehetőséget ad számításos feladatok végzésére. Az egyenes hasáb illetve henger felszínének és térfogatának meghatározása során külön figyelmet szentelhetünk a mértékegységek helyes használatának.
Részei
NAT
1.D) Geometriai transzformációk... MAT/ÁLT/7-10./1D
1.E) A sík- és térgeometriai fogalmak... MAT/ÁLT/7-10./1E
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.C) A szemléletesen kialakult geometriai MAT/ÁLT/7-10./2C
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.C) Halmazszemlélet, elemi halmaz... MAT/ÁLT/7-10./3C
4.A) Becslés, kerekítés, az eredmény... MAT/ÁLT/7-10/4A
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.D) A definíciók és tételek... MAT/ÁLT/7-10./4D
4.H) A matematika történeti fejlődése;... MAT/ÁLT/7-10./4H
Eltolás, pont körüli forgatás 10 óra
Cél
A ponttranszformáció fogalmának mélyítése
Az eltolás értelmezésével együtt a vektor fogalmának bevezetése, két eltolás összegéből a vektorösszeadás műveletének felfedezése, vektorokkal és számokkal végzett műveletek hasonlóságainak és különbségeinek felfedezése és tudatosítása
A pont körüli forgatás értelmezése és tulajdonságainak mélyebb vizsgálata
Kapcsolatot keresni a középpontos tükrözés és az elforgatás között, az elforgatással és forgásszimmetriával megalapozni a középponti és kerületi szögek tárgyalását
Az eddig megismert transzformációk alapján megfogalmazni az egybevágósági transzformáció fogalmát
Megismerkedni a szögek kétféle mérési módszerével
Követelmény
A tanulók ismerjék a következő fogalmakat: vektor - hossza, iránya, állása; egyenlő vektorok; vektorok összege, különbsége, számmal való szorzása
Tudjanak elvégezni vektorműveleteket egyirányú, ellentétes irányú, különböző állású vektorok között
Ismerjék az eltolás tulajdonságait, az egyállású szögek fogalmát
Ismerjék az eltolás és tengelyes tükrözések egymásutánjának kapcsolatát
Tudjanak adott pontot vagy síkidomot elforgatni adott pont körül adott szöggel
Síkidomhoz és képéhez a forgáscentrumot és a forgatás szögét meghatározni
Ismerjék és értsék az elforgatás tulajdonságait
Jól értsék az egybevágósági transzformáció fogalmát
Tudjanak szögeket átváltani fokról ívmértékre és fordítva
Ismerjék a középponti szög és kerületi szög fogalmát
Ismerjék és magabiztosan alkalmazzák a kör kerületének és területének kiszámítására vonatkozó képletet
Ismerjék a körív és körcikk fogalmát, tudják a körív hosszának és körcikk területének kiszámítási módját
Tananyag
A tengelyes és középpontos tükrözés felelevenítése után újabb transzformációval: az eltolással ismerkedünk meg. Az eltolás jellemzőjeként bevezetjük a vektor fogalmát. Vizsgáljuk vektorok egyenlőségét, a nullvektor szerepét. Eltolások egymásutánjával vizsgáljuk a vektorok összegzését, két vektor esetére megismerkedünk a paralelogramma - szabállyal. Vizsgáljuk a vektorok kivonását és számmal való szorzását is. Megállapítjuk az eltolás tulajdonságait, összehasonlítjuk az eddig megismert egybevágósági transzformációkkal. Vizsgáljuk az egyállású szögek egyenlőségét. Felvetjük párhuzamos tengelyekre vonatkozó egymás utáni tükrözések egymásutánjának problémáját, tapasztalatszerzés után megállapítjuk az eltolással való kapcsolatát. Elmozdulással, sebességgel, erővel kapcsolatos feladatokat oldunk meg vektorok segítségével.
Megismerjük a pont körüli forgatás fogalmát, adott alakzatok elforgatásával a diákok felfedezik a forgatás tulajdonságait. Ezeket összegezzük és hasonlítsuk össze a már ismert transzformációkkal, állapítsuk meg a pont körüli forgatás és középpontos tükrözés kapcsolatát. Vizsgáljuk adott alakzat képét két derékszöget, majd tetszőleges szöget bezáró tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja esetén, vonjuk le a tapasztalatokat. Keressünk forgásszimmetrikus alakzatokat a természetben és a mindennapi életben, írjuk le szimmetriájukat. Alkalmazzuk az elforgatást szerkesztési feladatokban.
Összegezzük tapasztalatainkat, összefoglaljuk a megismert transzformációk közös tulajdonságait, majd megfogalmazzuk az egybevágósági transzformáció tartalmát és definícióját.
A forgásszimmetria szemléletesen megalapozza a körrel kapcsolatos ismeretek tárgyalását. Szemléletesen mutassuk meg a kör kerületére és területére vonatkozó képlet hátterét, végezzünk kerület - és területszámítási feladatokat. Figyeljük meg a középponti szög és a körív arányosságát, gyűjtsünk tapasztalatot egységsugarú kör adott középpontú ívének kiszámításában, majd vezessük be a radián fogalmát, végezzünk átszámításokat fokból radiánba és vissza, különös tekintettel a “nevezetes” szögekre. Ebben a témakörben sok matematikatörténeti vonatkozást is mutathatunk (pl. p - re vonatkozó érdekességek, újfok, stb.)
NAT
Szögmérés fokban. MAT/-8/4TK/1TÉ/2M
A kör kerületének és területének... MAT/-8/4TK/3TÉ/3T
[Szerkesztés] MAT/-8/4TK/4TÉ
Szerkesztési feladatok... MAT/-8/4TK/4TÉ/1T
Gyakorlottság a körző és vonalzó... MAT/-8/4TK/4TÉ/2F
[Transzformációk] MAT/-8/4TK/5TÉ
Pont körüli elforgatás... MAT/-8/4TK/5TÉ/1T
Egybevágósági transzformációk... MAT/-8/4TK/5TÉ/2F
[Szögek] MAT/-8/4TK/6TÉ
[Vektorok] MAT/-8/4TK/7TÉ
Vektorok. MAT/-8/4TK/7TÉ/1T
Vektorok összeadása, kivonása. MAT/-8/4TK/7TÉ/2F
Vektorok összegének és különbségének... MAT/-8/4TK/7TÉ/3F
Középpontos hasonlóság 6 óra
Cél
Újabb nem - egybevágósági transzformáció: a középpontos hasonlóság megismerése, gyakorlati élettel való kapcsolatának sokrétű megmutatása
A tapasztalatszerzés - sejtés - bizonyítás folyamatának rögzítése, a bizonyítási igény felkeltése
Követelmény
Tudják megszerkeszteni pont, szakasz, egyenes, sokszög, kör középpontosan hasonló képét, ha adott a hasonlósági középpont és a hasonlóság aránya
Tudják megszerkeszteni középpontosan hasonló alakzathoz és képéhez a hasonlóság középpontját
Tananyag
A középpontos hasonlóságot a vetítés, dia, árnyék stb. segítségével szemléletesen vezessük be, szerkesszük meg egyszerűbb alakzatok (pont, szakasz, egyenes, sokszög, kör) középpontosan hasonló képét, sejtsük meg és foglaljuk össze a középpontos hasonlóság tulajdonságait, vessük össze az egybevágósági transzformációkkal. Szerkesszük meg alakzatok képét, ha adott a hasonlóság középpontja, valamint egy pont a képével együtt, illetve szerkesszük meg adott középpontosan hasonló alakzatokhoz a hasonlóság középpontját. Mutassunk gyakorlati példákat kicsinyítésre, nagyításra (tervrajz, makett, filmvetítés stb.)
NAT
Aránypár,... MAT/-8/2TK/3TÉ/1T
[Szerkesztés] MAT/-8/4TK/4TÉ
Szerkesztési feladatok... MAT/-8/4TK/4TÉ/1T
Gyakorlottság a körző és vonalzó... MAT/-8/4TK/4TÉ/2F
Háromszög szerkesztése az alapesetekben. MAT/-8/4TK/4TÉ/3M
A középpontos hasonlóság. MAT/-8/4TK/5TÉ/5T
Középpontosan hasonló sokszögek... MAT/-8/4TK/5TÉ/7F
A kerület-, terület-, felszín- és... MAT/-8/4TK/3TÉ/1A
A Pitagorasz - tétel 8 óra
Cél
Tapasztalatszerzés a derékszögű háromszögek oldalaira vonatkozó összefüggésekben, a Pitagorasz - tétel megsejtése
A tétel bizonyítására vonatkozó igény felkeltése
Tapasztalatszerzés a tétel alkalmazásait illetően
A tételhez kapcsolódó matematikatörténeti vonatkozások felvillantása
Követelmény
A tanulók jól értsék a Pitagorasz - tétel szövegét
Ismerjék a tétel valamelyik bizonyítási módját
Tudják alkalmazni egyszerű sík - és térbeli alakzatok adatainak meghatározására
Tananyag
A háromszögek csoportosítása után oldjunk meg szerkesztési és számítási feladatokat derékszögű háromszögben, a diákok sejtsék meg, majd bizonyítsuk be Pitagorasz tételét (a diákok maguk is felkészülhetnek különféle átdarabolásos bizonyítások bemutatására, mágnestáblán vagy írásvetítőn igen látványos). Végezzünk számításos feladatokat a Pitagorasz - tétel alkalmazására (derékszögű háromszög oldalai, külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok, húrhossz számítása). Szerkesztési feladatokkal mélyítsük tovább a ponthalmazokról és transzformációkról eddig tanultakat, valamint végezzünk összetettebb számítási feladatokat a Pitagorasz - tétel és a területszámítás egyidejű alkalmazására.
NAT
A négyzetgyök... MAT/-8/2TK/2TÉ/4A
[Geometriai számítások] MAT/-8/4TK/8TÉ
Pitagorasz tétele. MAT/-8/4TK/8TÉ/1A
Az alakzatok egyes hiányzó... MAT/-8/4TK/8TÉ/2F
Változatos számításos feladatok... MAT/-8/4TK/8TÉ/3T
A kerület-, terület-, felszín- és... MAT/-8/4TK/3TÉ/1A
A henger és az egyenes hasáb 6 óra
Cél
A síkalakzatokról, testekről szerzett ismeretek átismétlése, bővítése
A térszemlélet fejlesztése, szemléltető ábrák készítése
Felszín - és térfogatszámítás, a mértékegységek helyes használata
Matematikatörténeti érdekességek, megoldhatatlan problémák bemutatása
Követelmény
Ismerjék az egyenes hasáb és a henger fogalmát, tudják megrajzolni ezek hálóját.
Tudják kiszámítani a kocka, négyzetes oszlop, téglatest, a szabályos háromoldalú és hatoldalú hasáb, a henger felszínét és térfogatát
Biztonságosan használják a terület és térfogat mértékegységeit, legyenek tisztában az átváltás szabályaival
Tananyag
A területszámítás után térbeli alakzatokat vizsgálva először a kocka és egyenes hasábok, majd az egyenes körhenger tulajdonságaival foglalkozunk. Érdemes vizsgálni ezek szimmetriáit a síkbeli analógiák alapján, így adva ízelítőt a térbeli egybevágósági transzformációkból. Foglalkozzunk a testek hálózatával, majd keressük meg a felszín és térfogat kiszámítási módjait, jól gyakorolva ezzel a síkalakzatoknál szerzett ismereteket. Az adatok megadásánál figyeljünk arra, hogy legyen szükség mértékegység - átváltásra, jól rögzítsük a terület - és térfogat mértékegységek váltószámait! Érdekességképpen a témát ókori problémák ismertetésével zárhatjuk (a négyzet oldala és átlója összemérhetetlen, a kocka térfogata szerkesztéssel nem megkettőzhető).
NAT
A használatos mértékegységek. MAT/-8/4TK/1TÉ/1A
Szögmérés fokban. MAT/-8/4TK/1TÉ/2M
Egyenes hasáb, henger, gúla, kúp, gömb. MAT/-8/4TK/2TÉ/4T
A tanult testek hálójának felvázolása. MAT/-8/4TK/2TÉ/6F
[Kerület, terület, felszín, térfogat] MAT/-8/4TK/3TÉ
A kerület-, terület-, felszín- és... MAT/-8/4TK/3TÉ/1A
A henger felszíne és térfogata. MAT/-8/4TK/3TÉ/4T
Az egyenes hasáb felszíne és térfogata. MAT/-8/4TK/3TÉ/5M
Gráfok
10 óra
A korábban megszerzett ismereteket olyan módon rendszerezzük, és ismételjük, hogy azok újabb ismeretekhez vezessenek (komplementer gráf, erdő, irányított kör)
Alapvető célkitűzés, hogy mindennapi problémákhoz egyszerűsített, de lényeges pontokon illeszkedő modelleket tudjanak készíteni, ezekből újabb következtetéseket vonjanak le
Érzékeltetni a matematikai tevékenység, modellalkotó problémamegoldás lényegét
Algoritmizáló képesség fejlesztése
Intuitív analógiás gondolkodás fejlesztése
Követelmény
A tanulók
- pontosan, a jártasság szintjén ismerjék a gráf fogalmát, ábrázolását síkbeli ábrán
- legyenek képesek konkrét fa - diagramok elemzésére (összefüggőség, fokszám, élszám)
- ismerjék fel az egy vonallal bejárhatóság feltételét, adják meg a bejárás algoritmusát
- ábrázoljanak folyamatokat, játékokat irányított gráffal
Tananyag
Kezdetben ismert témájú feladatokat tűzzünk ki, majd fokozatosan bővítsük a kérdések körét. Egyes feladatok az eddigi fogalmak elmélyítését szolgálják, míg mások új fogalmakat készítenek elő (fa, erdő, fokszám, összetett gráf, komplementer gráf, bejárhatóság). A feladatok megoldása során legyen szükség különféle gráfok felrajzolására, az új fogalmakat sok tapasztalat alapján akkor vezessük be, amikor a jelentőségéről a feladatmegoldás során már meggyőződtünk. A fokszám, teljes gráf, komplementer gráf, erdő fogalmával kapcsolatosan sok olyan kérdés is feltehető, melyek kombinatorikai asszociációt tartalmaznak, illetve megoldhatunk kombinatorika feladatokat gráfok segítségével. Értelmezzük a különböző megoldási utakkal kapott eredményeket! Jól kapcsolódik a számelmélethez az összetett számok osztóinak megkeresése fa - diagrammal, az osztók számára vonatkozó összefüggés megsejtése a gráf alapján. Folyamatosan ösztönözzük a tanulókat, hogy az eredményeket a szemlélettel, a várakozással hasonlítsák össze!
NAT
Egyszerű szöveges... MAT/-8/1TK/3TÉ/2F
A nyelv logikai elemeinek használata. MAT/-8/1TK/2TÉ/2F
Képesség egyszerű... MAT/-8/1TK/2TÉ/4F
A következtetési... MAT/-8/2TK/3TÉ/4F
Szabályszerűségek... MAT/-8/1TK/1TÉ/2F
Néhány nevezetes... MAT/-8/1TK/1TÉ/3T
Matematikatörténeti... MAT/-8/1TK/1TÉ/4A
Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. MAT/-8/1TK/2TÉ/3T
A szaknyelv... MAT/-8/1TK/3TÉ/1T
Változatos... MAT/-8/1TK/5TÉ/1T
Tapasztalatszerzés... MAT/-8/1TK/5TÉ/3F
A matematikai bizonyítás... MAT/-8/1TK/1TÉ/1T
Az "és", "vagy", "ha..., akkor", "nem".. MAT/-8/1TK/2TÉ/1T
Valószínűségszámítás és statisztika
20 óra
A hetedik osztálynál megfogalmazott ismeretek és készségek mélyítése, fejlesztése
A szemléletes megközelítés mellett a matematikai képletek tudatosabb alkalmazása
A kombinatorika és valószínűségszámítás egyidejű gyakorlása kombinatorikus valószínűségszámítási feladatokkal
Ismerkedés a geometriai valószínűség fogalmával
A tanult statisztikai fogalmak mélyítése, új statisztikai szempontok felvetése (terjedelem, szórás)
Követelmény
A tanulók magabiztosan alkalmazzák a permutációra és variációra vonatkozó képletet
Legyenek képesek összetett kombinatorika feladatot részeire bontani és végiggondolni
Értsék a “kedvező eset” és “összes eset” fogalmát, jól alkalmazzák kombinatorikai ismereteiket valószínűségszámítási problémákban
Értsék a (szó szoros értelmében) geometriai valószínűség fogalmát, ilyen típusú feladatokban legyenek képesek alkalmazni területszámítási ismereteiket
Legyenek képesek adathalmazokat önállóan elemezni, és a legmegfelelőbb szemléltetési módot megtalálni
Részei
NAT
1.F) A "ha...., akkor", az "akkor és... MAT/ÁLT/7-10./1F
1.G) A matematika fogalmainak,... MAT/ÁLT/7-10./1G
2.A) Matematikai szövegek, szöveges... MAT/ÁLT/7-10./2A
2.B) Többféle megoldás lehetősége. MAT/ÁLT/7-10./2B
2.D) Egyszerű esetekben a valószínűség... MAT/ÁLT/7-10./2D
3.A) Az induktív módszer további... MAT/ÁLT/7-10./3A
3.B) Sejtések, szabályszerűségek... MAT/ÁLT/7-10./3B
3.D) Adatsokaság elemzése, jellemzése,... MAT/ÁLT/7-10./3D
3.E) Szemléltető ábrák és modellek... MAT/ÁLT/7-10./3E
4.C) A szaknyelv s a fokozatosan... MAT/ÁLT/7-10./4C
4.E) A megértett összefüggések szabatos... MAT/ÁLT/7-10./4E
4.G) A kommunikációs készség tovább... MAT/ÁLT/7-10./4G
Kombinatorika 10 óra
Cél
A hetedik osztályban tanultak elmélyítése
A megtalált matematikai eszközök (képletek) alkalmazási biztonságának mélyítése
Analóg problémák felismerése különböző szövegű feladatokban
Törekvés a legegyszerűbb megoldási út megtalálására
A szemlélettel, várakozással való összevetés igényének és képességének fejlesztése
Követelmény
A tanulók magabiztosan tudják megkülönböztetni az ismétlés nélküli permutációs, ismétléses és ismétlés nélküli variációs, illetve egyszerűbb kiválasztási feladatokat (nem az elnevezésben, hanem a megoldásra választott eljárás szintjén)
Tudják alkalmazni a megfelelő képletet
Legyenek képesek több lépéses problémák végiggondolására
Bátran használják a megfelelő szemléltetési és megközelítési módokat (fa - diagramok, kisebb elemszámú analógiák, analóg feladatok)
Tananyag
Először a hetedik osztályban szerzett tapasztalatokat és ismereteket elevenítjük fel feladatokon keresztül, majd olyan problémákat oldunk meg, ahol valamilyen megkötés miatt nem az összes lehetőség képezi a megoldást (sorbanállásnál fiúk - lányok felváltva, kockadobásnál az összeg páros stb.) Ezzel jól gyakoroljuk az eljárások tudatos megválasztását, és elkerüljük a mechanikus gondolkodást, miközben a kiindulásként használt általános képlet megértése és alkalmazási készsége is mélyül. A “hány olyan n jegyű szám van, amely...” típusú problémák alkalmasak a kombinatorika és számelmélet témájának összekapcsolására. Rámutatunk, hogy egyes feltételeknek több, másoknak kevesebb eset felel meg, ezzel mélyítve a kombinatorika és a kombinatorikus valószínűség kapcsolatát.
Érdemes megmutatni a hatványfüggvények és a faktoriális növekedési tulajdonságait, és ennek kombinatorikus megnyilvánulását, azaz az esetek számának rohamos növekedését az alaphalmaz növelése esetén.
NAT
A matematikai bizonyítás... MAT/-8/1TK/1TÉ/1T
[Kombinatorika] MAT/-8/1TK/5TÉ
Változatos... MAT/-8/1TK/5TÉ/1T
Sorbarendezés,... MAT/-8/1TK/5TÉ/2T
Tapasztalatszerzés... MAT/-8/1TK/5TÉ/3F
Valószínűségszámítás 6 óra
Cél
A valószínűség és relatív gyakoriság kapcsolatának mélyítése
Tapasztalatszerzés a teljes eseményrendszerről
Kombinatorikus valószínűségi problémák megoldása
Területszámításra visszavezethető geometriai valószínűségi problémák vizsgálata
Követelmény
A tanulók tudjanak kombinatorikus módszerrel valószínűségszámítási problémákat megoldani
Ismerjék fel egy feladatban a teljes eseményrendszert
Legyenek képesek egyszerűbb geometriai valószínűségi feladatok megoldására
Tananyag
Ismert kombinatorika feladatokat oldjunk meg más szövegezéssel valószínűségszámítási köntösben. Tegyünk fel olyan kérdéseket, melyekben az általunk megjelölt különféle kimenetelek összességükben a teljes eseményrendszert adják (pl. kockával A: prímet B: négyzetszámot C: hatost dobunk) - figyeljük meg a halmazok viszonyát és a valószínűségek összegét! A feladatok alapját képező kombinatorikai problémák szintje megegyezik a kombinatorikában korábban elért szinttel, így gyakoroltatja a kombinatorikai ismereteket. Játsszunk szerencsejátékokat, állapítsuk meg úgy a nyereséget, hogy nem azonos valószínűségek esetén is igazságos legyen a játék. Oldjunk meg célbalövéses feladatokat bármilyen, geometriai ismereteknek megfelelő formájú céltábla esetén.
NAT
[Valószínűség] MAT/-8/5TK/1TÉ
Valószínűség, statisztika MAT/-8/5TK
Valószínűségi kísérletek. MAT/-8/5TK/1TÉ/1T
Tapasztalatszerzés események.... MAT/-8/5TK/1TÉ/3F
Statisztika 4 óra
Cél
A hetedik osztályban tanultak elmélyítése (a fogalomkör nem bővül, cél az ismeretek készségszintre emelése)
Önálló munka képességének fejlesztése
A statisztika fogalomrendszerének alkalmazása változatos, hétköznapi és gazdasági helyzetekben
Szerezzenek tapasztalatot az adatok eloszlásának változatosságával kapcsolatban (különböző átlagtól való eltérések fogalmának intuitív megalapozása)
Követelmény
A tanulók legyenek képesek egy adathalmaz célszerű feldolgozási szempontjait önállóan megállapítani
Tudjanak adatokat osztályozni a feldolgozás céljainak megfelelő terjedelmű osztályokba
Találják meg az adatok szemléltetésének legcélszerűbb módját
Legyenek képesek adathalmazok önálló felvételére
Magabiztosan olvassanak ki különféle módon megjelenített adatokat
(táblázatok, grafikonok, diagramok)
Helyesen használják az arányok, százalékszámítás módszerét a relatív gyakoriságok megállapítására
Legyenek nyitottak és képesek az adatokat matematikai értelmükön túlmenően is értelmezni, a statisztika fogalmait felhasználva
Tananyag
A tanulók más tevékenységéhez kapcsolódó (akár szaktárgyi) témákat választva (gazdaságföldrajz, fizika, hétköznapi élet stb.) dolgozzunk fel változatos adathalmazokat, a hetedik osztályban tanult fogalmak és szempontok segítségével. Az adathalmazhoz feltett kérdés alapján a tanulók maguk válasszák meg a szempontokat és eljárásokat, a feldolgozás ne a statisztikai fogalmak gyakoroltatását, hanem az adatok valódi elemzését és értelmezését szolgálja (pl. hasonlítsuk össze két régió gazdasági helyzetét, figyeljük meg a globális felmelegedés tendenciáját meteorológiai adatokban, a diákok “fogyasztási szokásait”, stb.) Olyan feladatokat is adjunk, melyekben az adatokat a diákoknak kell felvenni, illetve olyanokat, ahol az adatokat valamely szemléletes feldolgozásból kell kiolvasniuk. Hasonlítsunk össze és értelmezzünk azonos átlagú, de különböző szóródású adathalmazokat, értelmezzük a különbséget!
NAT
[Statisztika] MAT/-8/5TK/2TÉ
Adatok gyűjtése, rendszerezése,... MAT/-8/5TK/2TÉ/1T
Adatok elemzése, értelmezése. MAT/-8/5TK/2TÉ/2F
Grafikonok készítése. MAT/-8/5TK/2TÉ/3A
Rendszerező ismétlés
20 óra
Cél
A tanult ismeretek rendszerezése, kiegészítése, a fontosabb anyagrészek kiemelése.
Az eddig tanult módszerek gyakorlása, az ismeretek alkalmazása összetettebb feladatokban.
A tanterv elején felsorolt képességek életkornak megfelelő kifejlesztése.
Tananyag
Az altémákban megfogalmazott tartalomnak megfelelő tananyagot rendszerezve, kiegészítve átismételjük. Ahol lehet, olyan összetett feladatokat válogatunk, amelyek megoldásához sokféle ismeret szükséges. A feladatok tartalma és megoldása erősítse a tanulókban a matematika különböző területeinek kapcsolatát. Olyan feladatok kitűzését is javasoljuk, amelyek bemutatják a matematika gyakorlati hasznosságát.
Foglalkozzunk az éves tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti vonatkozásokkal.
